Cálculo Diferencial e Integral I

Exemplo 5: Calcule a integral
∫ 1 0
e dx
x x
1
1
1
1
x
Solução: = x
1
[ ] −
∫
x x x
∫
x e dx xe e dx = [ xe ] − [ e ]
0
= ( e − 0) − ( e −1)
= 1
0
0
0
0
(*)
Por integração por partes, temos
u = x
du = dx
x
dv = e dx
v = e
x
5.11 Cálculo de Áreas
Podemos calcular áreas de figuras planas com o auxílio da integral definida.
Vejamos alguns exemplos.
2
Exemplo 1: Determine a área limitada pela curva y = 9 − x e o eixo dos x .
Solução: Como
y =
f ( x)
= 9 − x
é uma função contínua e não negativa no
intervalo [−3,3]
, então a área procurada, que denotaremos por A , é dada por
2
A =
b
∫
a
f ( x)
dx =
3
∫
−3
(9 − x
2
⎡
) dx = ⎢9x
−
⎣
3
x ⎤
3
⎥
⎦
3
−3
=
( 27 − 9) − ( −27
+ 9) = 36
Portanto, a área é
36
unidades de área.
Exemplo 2: Determine a área limitada pela curva y = x 2 − 9 e o eixo dos x .
Solução: Como
y = f ( x)
= x
2 − 9 é uma função contínua no intervalo [−3,3]
,no entanto, negativa no intervalo (−3,3) , então a área procurada, que denotaremos
por A , é dada por
A =
b
∫
a
f ( x)
dx =
3
∫
−3
(9 − x
2
3
⎡ x ⎤
) dx = ⎢9x
−
3
⎥
⎣ ⎦
3
−3
=
( 27 − 9) − ( −27
+ 9) = 36
Portanto, a área é 36 unidades de área.
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