Cálculo Diferencial e Integral I

3.6 Derivadas de Funções Inversas
Nas seções 3.2 e 3.3, aprendemos como derivar a função exponencial e as
funções trigonométricas. Agora, aprenderemos uma regra para derivar a inversa de
uma função derivável e aplicaremos tal regra para encontrar a derivada da função
logarítmica (inversa da função exponencial), bem como as derivadas das funções
trigonométricas inversas.
Teorema 1 (Regra da derivada da função inversa): Seja
f uma função definida
em um intervalo aberto I . Suponhamos que f admite uma função inversa g , isto
é, y = f (x) se, e somente se, x = g(y)
. Se f é derivável em I e f ′(
x)
≠ 0,
∀x
∈ I ,
então
g = f
−1
é derivável e vale
g′
( y)
=
1
1
, ou equivalentemente, ( f )′(
f ( x))
= .
f ′(
g(
y))
f ′(
x)
− 1
Demonstração: Considerando que g é a inversa de f (isto é,
y = f ( x)
⇔ x = g(
y)
) temos, derivando implicitamente em relação a x , a equação
g(y) , d d
dy
x = g(
y)
⇔ 1 = g′
( y)
⇔ g′
( y)
=
1 .
dx dx
dx
dy
dx
x = [ ] [ ]
dy dx
Como y = f (x) e x = g(y)
então = f ′(x)
, = g′
(y)
e f ′( x)
= f ′(
g(
y))
. Daí,
dx dy
dx 1
=
dy dy
dx
1
ou, equivalentemente, g′
( y)
= .
f ′(
g(
y))
3
Exemplo 1: Se f é a função definida por y = f ( x)
= 8x , sabemos que sua
−1
1
inversa é a função g = f definida por x = g( y)
= 3 y . Como f ′(
x)
= 24x
2 ≠ 0
2
para todo x ≠ 0 temos que, se tomarmos I sendo um intervalo aberto que não
contenha a origem, como por exemplo I = ( 0,
+∞)
, a derivada de g = f é
−1
1 −2/
3
′
2
2
g ( y)
=
1
=
f ′(
g(
y))
24[
g(
y)]
1
=
⎡1
24 3
⎢
⎣2
⎤
y ⎥
⎦
1
= y
6
,
∀y
∈ I
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