Cálculo Diferencial e Integral I

CAPÍTULO 2. LIMITES DE FUNÇÕES
2.1 Noção Intuitiva de Limite
O conceito de limite é base fundamental de todos os conteúdos de Cálculo
Diferencial e Integral. Portanto, será o ponto de partida para o estudo da teoria do
cálculo.
Para iniciarmos nosso estudo sobre limites, vamos considerar alguns modelos
ilustrativos.
2
x − 4
Exemplo 1: Seja f : RI − { 2 } → RI a função definida por f ( x)
.
= x − 2
Observe que f (x) existe para todo x , exceto x = 2 . Investiguemos o comportamento
de f (x) quando x se aproxima de 2 , porém excluindo o 2 . Neste caso, dizemos
que x tende a 2 e usaremos a notação x → 2 . Observemos que existem duas
possibilidades para x se aproximar de 2 :
(i) x se aproxima de 2 por valores superiores a 2 e, neste caso, diremos que
+
x tende para 2 pela direita (notação: x → 2 )
x
f (x)
3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
5 4,5 4,1 4,01 4,001 4,0001 4,00001
2,00000
1
4,00000
1
…
…
(ii) x se aproxima de 2 por valores inferiores a 2 e, neste caso, diremos que
−
x tende para 2 pela esquerda (notação: x → 2 )
x
f (x)
1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
3 3,5 3,9 3,99 3,999 3,9999 3,99999
1,99999
9
3,99999
9
…
…
Note que, em ambas as tabelas, à medida que x fica cada vez mais próximo de
2 , tanto pela direita, quanto pela esquerda, os valores de f (x)
tornam-se cada vez
mais próximo de 4 .
2
x − 4 ( x − 2)( x + 2)
Por outro lado, f ( x)
= =
e se x ≠ 2 , temos que x − 2 ≠ 0 .
x − 2 x − 2
Logo, podemos cancelar o fator comum e reescrever f ( x)
= x + 2 . Assim, o gráfico de
f (x) será a reta y = x + 2 , com o ponto ( 2,
4 ) excluído. Observando o gráfico de
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