Cálculo Diferencial e Integral I

5.7 Substituições Diversas
Nesta seção veremos algumas substituições especiais que podem ser usadas
para resolvermos determinadas integrais. Veremos vários exemplos onde usaremos
algumas dessas substituições.
Exemplo 1: Calcule a integral
Solução:
∫
∫
cos
∫
cos
5
5
x dx
x dx
∫
∫
cos
5
x dx
2 2
2 2
= (cos x)
⋅cos
x dx = (1 − sen x)
⋅cos
x dx
∫
2 2
2 2
= (cos x)
⋅cos
x dx = (1 − sen x)
⋅cos
x dx
∫
(* )
= −
2 2 = −
2 −
4 = −
3
u du u u du u u −
5
u + C =
(1
)
(1
2
2
sen
3
)
∫
∫
1
sen
5
2
3
(* )
= x −
3 x −
5 x + C
sen
1
5
(* )
=
* ) (
=
(*)
u = sen x ⇒ du = cos x dx
Exemplo 2: Calcule a integral
Solução:
∫
4
sen x dx .
⎛1−
cos 2x
⎞ 1
2
x = cos 2x)
dx
⎝ 2 ⎠ 4
4
2 2
∫
sen dx
∫
(sen x)
dx =
∫
⎜ ⎟ dx =
∫
(1 − 2cos 2x
+
1
1+
cos4x
3 1
1
= ∫
(1 − 2cos2x + ) dx =
∫
dx −
∫cos2x dx +
∫cos4x
dx =
4
2 8 2
8
3 1 1
= x − sen 4x
+ sen 4x
+ C
8 4 32
Neste exemplo não fizemos nenhuma substituição, procedemos de maneira
direta. No processo de integração é importante adquirir tal habilidade.
2
Exemplo 3: Calcule a integral
∫
tg
3
x dx
Solução:
177