THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS 93
L’observateur continu est supposé robuste aux perturbations de mesures d’après l’hypothèse
ci-dessous.
Hypothèse 5.2.1 Le système (5.1)-(5.2) est stable entrée-sortie de (e,w) à ξ avec des gains
linéaires, i.e. il existe β 1 ∈ KL, γ1 e,γw 1 ∈ R ≥0 tels que, pour tout (ξ 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n z
, (e, w) ∈
L∞ ne+nw , les solutions de (5.1)-(5.2) vérifient :
|ξ(t)| ≤ β 1 (|(ξ 0 ,z 0 )|,t − t 0 ) + γ e 1 ‖e‖ [t 0 ,t) + γw 1 ‖w‖ [t 0 ,t)
∀t ≥ t 0 ≥ 0. (5.8)
Plusieurs études ont déjà eu recours à ce type de conditions pour la synthèse d’observateurs
pour les systèmes à données échantillonnées, en réseau ou quantifiés [92, 117] qui sont
similaires aux hypothèses invoquées pour la commande des NCS dans [151] (condition 2 du
Théorème 7) et des NCS avec quantification dans [148] (condition (i) du Théorème 1). Cette
hypothèse peut être vérifiée à l’aide de la Proposition B.2.1.
Nous concentrons notre attention sur la classe de protocoles UGES suivante.
Hypothèse 5.2.2 Le protocole (5.6) est UGES avec une fonction de Lyapunov W : Z ≥0 ×
R ne → R ≥0 qui est localement Lipschitzienne en e et uniformément en i.
La condition suivante rappelle (27) dans [151] et (12) dans [148]. En la combinant avec
l’Hypothèse 5.2.2, on montrera que le système (5.3) est stable entrée-état vis-à-vis de (ξ,z,w)
avec des gains linéaires.
Hypothèse 5.2.3 Il existe L,γ ξ 2 ,γz 2 ,γw 2 ∈ R ≥0 tels que pour tout (i,t,ξ,z,w) ∈ Z ≥0 × [t 0 ,∞) ×
R n ξ+n z+n w
et presque tout e ∈ R ne :
〈 〉
∂W (i,e)
,g(t,ξ,e,z,w) ≤ LW (i,e) + γ ξ 2
∂e
|ξ| + γz 2 |z| + γw 2 |w|. (5.9)
L’Hypothèse 5.2.3 est souvent vérifiée à l’aide des conditions suivantes :
(i) il existe L 1 ∈ R ≥0 tel que, pour presque tout e ∈ R ne et tout i ∈ Z ≥0 , on a :
∂W (i,e)
∣ ∂e ∣ ≤ L 1 , (5.10)
(ii) il existe L 2 ,˜γ ξ 2 ,˜γz 2 ,˜γw 2 ∈ R ≥0 tels que pour tout i ∈ Z ≥0 , t ∈ [t i ,t i+1 ], (ξ,e,z,w) ∈
R n ξ+n e+n z+n w
:
|g(t,ξ,e,z,w)| ≤ L 2 |e| + ˜γ ξ 2 |ξ| + ˜γz 2|z| + ˜γ w 2 |w|. (5.11)
Ainsi, (5.9) est satisfait avec L = L 1 L 2 , γ ξ 2 = L 1˜γ ξ 2 , γz 2 = L 1˜γ 2 z et γw 2 = L 1˜γ 2 w . La condition
(i) est équivalente au fait que W est globalement Lipschitzienne en e et uniformément en i,
d’après le théorème de la valeur moyenne de Lebourg (cf. Théorème 2.3.7 dans [36]). Nous
verrons que les fonctions de Lyapunov des protocoles étudiés vérifient de telles propriétés.