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176 Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
D.1 Définitions et résultats préliminaires
Considérons le système :
ẋ = f(t,x,u) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (D.1)
y = h(t,x,u) (D.2)
x(t + i ) = g(t i,x(t i ),u(t i )), (D.3)
où x ∈ R nx est l’état, y ∈ R ny la sortie, u ∈ R nu l’entrée, f : R ≥0 × R nx+nu → R nx est
continue en x et u et continue par morceaux en t, h : R ≥0 × R nx+nu → R ny est continue,
n x ,n u ,n y ∈ Z >0 . La séquence de sauts {t i } i∈Z>0 vérifie :
avec τ ∈ [υ,∞) et t 0 ∈ R ≥0 est l’instant initial.
υ ≤ t i+1 − t i ≤ τ, (D.4)
Remarque D.1.1 Nous avons choisi de considérer une classe de systèmes hybrides qui comprend
celles étudiées dans la Partie II. Les résultats de cette annexe s’appliquent directement
aux systèmes dont les dynamiques sont uniquement continues [163].
Cette section a pour but d’obtenir un résultat technique (Proposition D.1.3) qui nous
permettra de conclure dans la preuve des théorèmes du petit gain. Une série de définitions,
lemmes et propositions nécessaires à l’obtention dudit résultat sont maintenant énoncés.
Définition D.1.1 Soient µ ∈ K, c,∆ ∈ R >0 , le système (D.1)-(D.3) est dit (µ,c,∆)-uniformé–
ment pratiquement stable entrée-sortie 1 si les conditions suivantes sont vérifiées :
(i) [stabilité (µ,c,∆)-uniforme pratique] il existe δ ∈ K ∞ telle que, pour tout ε ∈ (0,δ −1 (∆)),
x(t 0 ) ∈ R nx
et u ∈ L nu
∞ avec max { |x(t 0 )|, ‖u‖ ∞
}
< δ(ε) :
|y(t)| ≤ max { ε,µ(‖u‖ [t0 ,t) ),c} ∀t ≥ t 0 ≥ 0, (D.5)
lorsque ∆ = ∞, le système (D.1)-(D.3) est (µ,c)-uniformément pratiquement stable ;
(ii) [attractivité (µ,c,∆)-uniforme pratique] pour tout r ∈ (0,∆), ε ∈ (c,∞), il existe T (r,ε) ∈
R >0 tel que pour tout x(t 0 ) ∈ R nx
t 0 ∈ R ≥0 :
et u ∈ L nu
∞
avec max { |x(t 0 )|, ‖u‖ ∞
}
< r, pour tout
|y(t)| ≤ max { ε,µ(‖u‖ [t0 ,t) )} ∀t ∈ [t 0 + T (ε,r),∞), (D.6)
lorsque ∆ = ∞, le système (D.1)-(D.3) est (µ,c)-uniformément pratiquement attractif.
Le lemme ci-dessous découle directement du Lemme 3.1 dans [121].
Lemme D.1.1 Soient ∆ ∈ R >0 et Φ : [0,∆) × [t 0 ,∞) → R ≥0 tels que, pour tout r ∈ (0,∆),
ε ∈ R >0 , il existe ¯T (r,ε) tel que, pour tout s ∈ [0,r), t ≥ t 0 + ¯T (r,ε), Φ(s,t) < ε. Alors, il
existe T : (0,∆) × R >0 → R >0 qui satisfait les propriétés suivantes :
(i) pour tout r ∈ (0,∆), T (r,·) : R >0 → R >0 est continue, strictement décroissante et
bijective de R >0 dans R >0 ;
1. L’entrée et la sortie sont respectivement u et y dans cette section.