THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

48 Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné
des propriétés de stabilité pour le système (3.1) sous sa forme initiale.
Comme nous l’avons évoqué au cours du Chapitre 1, depuis son développement au début
des années 1990, le backstepping a été employé dans de nombreuses applications comme la
commande de machines électriques [193], de véhicules [208], de suspensions actives, de turboréacteurs
[105], de bateaux [61], ou encore la synchronisation de systèmes chaotiques [201].
Dans la majorité des cas, le contrôleur est implémenté numériquement. Afin d’améliorer les
performances obtenues par émulation, l’étude de la commande par backstepping échantillonné
de systèmes sous forme strict-feedback est réalisée par l’approche DTD dans [153]. A partir
de l’approximé discret d’Euler, des retours d’état sont synthétisés permettant généralement
d’élargir le domaine d’attraction et d’augmenter la vitesse de convergence, comparés au blocage
de la loi continue (pour une période d’échantillonnage donnée). Le cas des approximations
d’ordre supérieur est traité dans [29] pour la même classe de systèmes.
Dans ce chapitre, nous considérons le cas où les systèmes étudiés dans [153] sont affectés
par des termes inconnus représentant des incertitudes de modèle et/ou des perturbations
extérieures. Le but est de synthétiser des lois de commande discrètes assurant des propriétés
de robustesse pour l’approximé d’Euler. Contrairement au Chapitre 2, nous ne considérons
pas d’approximation d’ordre supérieur. Ce choix se justifie par le fait qu’il faudrait, pour
cela, que les termes incertains vérifient des propriétés très restrictives donc peu réalistes
(cf. §3.6.2). L’impact des perturbations induites par l’utilisation d’actionneurs à dynamiques
rapides, sur le blocage d’une commande par backstepping a été étudié dans [97]. Les perturbations
considérées ici sont beaucoup moins restrictives et le problème, de manière générale, est
différent puisqu’il s’agit véritablement de proposer de nouveaux contrôleurs et non d’étudier
la robustesse d’une loi continue bloquée. Deux objectifs sont ainsi satisfaits : la stabilisation
entrée-état et la compensation des perturbations, lorsque celles-ci vérifient certaines conditions.
La stabilité entrée-état a été introduite en temps continu dans [180] puis en temps discret
dans [87]. Dans [196], il est prouvé que cette propriété est préservée par émulation, dans
un sens semiglobale et pratique, pour des fréquences d’échantillonnage suffisamment élevées.
La notion de semiglobalité signifie que la période d’échantillonnage dépend de la boule dans
laquelle se trouvent les conditions initiales et où évoluent les signaux de perturbations. Le
terme pratique traduit le fait que la propriété de convergence du continu est maintenue à
une erreur résiduelle près, que l’on peut diminuer autant que désiré en ajustant la période
d’échantillonnage. Ces travaux reposent sur l’utilisation de fonctions de Razumikhin communément
employées pour étudier la stabilité des systèmes à retard. Une approche alternative
est proposée dans [109] pour le même problème. Dans [108], des conditions suffisantes pour que
la stabilité entrée-état d’un modèle discret approximé soit maintenue pour le discrétisé exact
sont énoncées. Ces résultats ont ensuite été étendus aux systèmes à temps variant dans [107]
où la stabilisation entrée-état de modèles approximés de systèmes perturbés non holonomes
sous forme de puissance est proposée puis appliquée à plusieurs classes de robots.