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6 Publications Articles soumis (viii) R. Postoyan et D. Nešić, A framework for the observer design for networked control systems, ACC’10 (American Control Conference), Baltimore : Etats-Unis, 2010. (ix) R. Postoyan et D. Nešić, Trajectory based small gain theorems for parameterized systems, ACC’10 (American Control Conference), Baltimore : Etats-Unis, 2010. (x) R. Postoyan et E. Panteley, On the semiglobal asymptotic stabilization of a class of nonlinear sampled-data systems using emulated controllers, HSCC’10 (Hybrid Systems: Computation and Control), Stockholm : Suède, 2010. (xi) R. Postoyan, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, Observers for classes of nonlinear networked control systems, International Journal of Modelling, Identification and Control.
Notations 7 Notations Ensembles On note R = (−∞,∞), R ≥0 = [0,∞), R >0 = (0,∞), Z ≥0 = {0,1,2, . . .}, Z >0 = {1,2, . . .}. Classes et ensembles de fonctions Soit C(R p ,R q ), p, q ∈ Z >0 , l’ensemble des applications continues de R p dans R q et C i (R p , R q ), i ∈ Z >0 , l’ensemble des applications continues dont les dérivées partielles d’ordre i sont définies et continues. L’ensemble des fonctions pour lesquelles ces dérivées sont continues pour tout i ∈ Z >0 est noté C ∞ (R p ,R q ). Soit a ∈ R >0 ∪ {∞}, la fonction γ : [0,a) → R ≥0 est dite de classe K si elle est continue, égale à zéro en zéro et strictement croissante, on dit qu’elle est de classe K ∞ si de plus a = ∞ et γ(s) → ∞ quand s → ∞. Par extension, pour a,b ∈ R >0 ∪ {∞}, γ : [0,a) × [0,b) → R ≥0 est de classe KK si, pour tout (s 1 ,s 2 ) ∈ [0,a) × [0,b), γ(s 1 ,·) et γ(·,s 2 ) sont de classe K. Une fonction continue γ : [0,a) × R ≥0 −→ R ≥0 est de classe KL si, pour tout t ∈ R ≥0 , γ(·,t) est de classe K, et, pour tout s ∈ [0,a), γ(s,·) est décroissante et tends vers zéro à l’infini. De plus, γ est dite de classe exp −KL s’il existe λ 1 ,λ 2 ∈ R >0 tels que γ(s,t) = λ 1 exp(−λ 2 t)s, pour (s,t) ∈ [0,a) × R ≥0 . On définit la fonction signe de la façon suivante : sign : R → R ⎧ ⎪⎨ 1 si x > 0 x ↦→ −1 si x < 0 ⎪⎩ 0 si x = 0. (1) La notation I représente l’application identité sur les espaces considérés. Normes Le norme Euclidienne d’un vecteur ou d’une matrice est notée | · |. Pour une fonction f : R → R n , n ∈ Z >0 , Lebesgue mesurable, on définit pour t 1 ≤ t 2 ∈ R, ‖f‖ [t1 ,t 2 ) =
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Annexes
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172 Annexe B. Rappels de stabilité
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234 Références [169] S. Sastry an
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