THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

42 Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires
2.5 Exemple numérique
Considérons le système monodimensionnel non linéaire suivant, où θ ∈ [θ, ¯θ] est inconnu
et 0 < θ < ¯θ,
ẋ = x 2 θ + u. (2.56)
Une loi de commande continue est dans un premier temps synthétisée, puis nous nous intéres–
sons au cas où la commande est échantillonnée à une période constante T ∈ R >0 et maintenue
constante entre deux instants d’échantillonnage. Des contrôleurs d’ordre 0 et 1 sont obtenus
pour le discrétisé exact de (2.56) d’après la résolution du système d’inégalités équivalent à
(2.50).
2.5.1 Commande adaptative continue
Considérons la fonction de Lyapunov candidate suivante :
W (x,˜θ) = 1 2 x2 + 1
2α ˜θ 2 ,
avec α ∈ R + , le contrôleur adaptatif suivant peut être choisi (voir Chapitre 1):
{
uc (x,̂θ) = −cx − ̂θx 2
˙̂θ = αx 3 ,
(2.57)
où c ∈ R >0 . En effet, il permet d’obtenir, le long des solutions de (2.56),
Ẇ = x(x 2 θ + u c ) − ˙̂θ˜θ = −cx 2 . (2.58)
L’Hypothèse 2.2.1 est satisfaite et x converge asymptotiquement vers l’origine, d’après le
principe d’invariance de LaSalle (Théorème B.1.2).
2.5.2 Commande échantillonnée
Commande d’ordre zéro
Le nouveau paramètre γ est introduit, ainsi, d’après (2.19) (les dépendances sont omises
par souci de clarté) :
avec
ˆγ + = ˆγ + T α (x˜p 0 (x)L 10 (ˆγ) − σˆγ) , (2.59)
˜p 0 (x) = x 2 θ. (2.60)
( )
Le terme L 10 est défini dans (2.23) avec ζ = ln
¯θ
θ
, f i (z) = e iζz et ˜f i (z) = −2z 2 + (f i (1) +
1)z+1.2 pour z ∈ R, i ∈ {1,2}. La loi de commande suivante est proposée, selon la Proposition
2.4.1,
u 0 sd = −cx − ˜p 0 (x)S 10 (ˆγ), (2.61)