THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS 119
Lorsque les données du système sont transmises via un réseau ordonnancé, d’après le
Chapitre 4, le problème peut s’écrire sous la forme :
˙ ξ = f ξ (ξ,e,z) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.23)
ż = f z (ξ,e,z) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.24)
ė = g(ξ,e,z) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.25)
ξ(t + i ) = ξ(t i) (6.26)
z(t + i ) = z(t i) (6.27)
e(t + i ) = h(i,e(t i),z(t i )), (6.28)
où ξ ∈ R n ξ
représente l’erreur d’observation, z ∈ R nz l’état de l’observateur, e ∈ R ne l’erreur
induite par le réseau et g est défini par (4.28) et (4.48). La séquence d’instants de transmission
{t i } i∈Z>0 vérifie :
υ ≤ t i − t i−1 ≤ τ ∀i ∈ Z >0 , (6.29)
avec τ ∈ [υ,∞) et t 0 = 0. Les perturbations sur les instants de transmission considérées
dans (6.18) peuvent toujours être prises en compte du moment que (6.29) est satisfait. Les
perturbations de mesures, ε, sont ignorées dans (6.23)-(6.28) puisqu’elles sont uniquement
introduites dans §6.3 afin de quantifier la robustesse de l’observateur aux incertitudes de
mesures, ce que nous ferons ici à l’aide de la variable e.
Remarque 6.4.1 Les dépendances au temps et aux perturbations w sont omises dans ce
chapitre, uniquement afin de simplifier l’exposé.
Hypothèse 6.4.1 Le système (6.23)-(6.24) est RFC vis-à-vis de e, i.e. il existe ˜µ ∈ C(R ≥0 ,
R ≥0 ), ˜α ∈ K ∞ , ˜γ ∈ K telles que pour tout (ξ 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n z
et e ∈ L ne
∞, le long des solutions
de (6.24), pour tout t ∈ R ≥0 :
(
)
|z(t)| ≤ ˜µ(t) ˜α(|ξ 0 | + |z 0 |) + ˜γ(‖e‖ [0,t)
) . (6.30)
Lorsque le problème est écrit dans les coordonnées (ξ,z,e), il n’est plus nécessaire de supposer
que le système (6.10) soit positivement complet : l’hypothèse ci-dessus et la suivante
l’impliquent. On remarque que l’Hypothèse 6.4.1 permet de considérer des gains non linéaires
contrairement à l’Hypothèse 5.2.6.
Hypothèse 6.4.2 Le système (6.23)-(6.24) est stable entrée-sortie de e à ξ, i.e. il existe
σ ∈ KL et γ ∈ K telles que, les solutions de (6.23)-(6.24) vérifient, pour tout (ξ 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n z
,
e ∈ L ne
∞ et t ∈ R ≥0 :
|ξ(t)| ≤ σ(|ξ 0 | + |z 0 |,t) + γ(‖e‖ [0,t)
). (6.31)