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136 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS e1 20 0 ZOH Pred −20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 t e2 0 rag replacements −10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 t e3 0 −10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 t e4 0 −10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 t e5 0 −20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Fig. 6.6 – Erreurs d’observation pour le cas échantillonné avec τ = 0.021 e1 0.2 0 ZOH Pred rag replacements e2 e3 −0.2 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0 −0.2 0.2 0 −0.2 0.1 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 3 4 5 6 7 8 9 10 t e4 0 e5 −0.1 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0 −0.2 t 3 4 5 6 7 8 9 10 t Fig. 6.7 – Zoom sur les erreurs d’observation pour le cas échantillonné avec τ = 0.021
Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS 137 RR TOD Echantillonné Pred Proposition 5.3.1 (Lyapunov) 0.0001 0.0002 0.001 Proposition 6.5.1 (Lyapunov) 0.0002 0.0004 0.001 Proposition 5.3.1 (solution analytique) 0.0003 0.0006 0.003 Proposition 6.5.1 (solution analytique) 0.0006 0.0007 0.002 Simulation 0.2 0.3 0.7 Tab. 6.2 – Bornes sur le MATI pour l’observation de (6.94)-(6.95) via le réseau condition (5.48) s’avèrent justifiées. Soit le système instable suivant : avec ẋ = Ax (6.94) y = Cx, (6.95) A = ⎡ ⎤ 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 , C = ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 1 0 ⎦ 1 0 0 0 1 ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 Les pôles de A sont {1,1,1,i,−i} et la paire (A,C) est bien observable. Un observateur du type (6.93) est synthétisé. Les bornes sur le MATI obtenues pour le bloqueur Pred sont données dans le Tableau 6.2 (aucun de nos résultats ne permet d’en calculer pour le ZOH puisqu’une des hypothèses est violée). Des simulations sont réalisées pour les mêmes conditions initiales que précédemment. On constate, d’après la Figure 6.8, que pour un intervalle de transmission petit (τ = 0.002), l’émulation de l’observateur à l’aide de bloqueurs ZOH diverge, alors qu’avec le Pred la convergence de l’erreur d’observation est assurée. L’hypothèse de stabilité du système à observer, lorsque le bloqueur est d’ordre zéro, semble donc justifier pour ce système linéaire. Nous ne pouvons être catégorique car il faudrait pour cela étudier le comportement du système pour τ qui tend vers 0. 6.6.2 Robot flexible Nous étudions les observateurs pour robots flexibles développés dans [160], qui sont une extension de [1]. Le modèle du système sans entrée de [187] est : ẋ = Ax + φ(x) (6.96) y = Cx, (6.97) où x = (θ m ,ω m ,θ 1 ,ω 1 ), θ m ,ω m sont respectivement la position et la vitesse angulaire et du moteur, θ 1 ,ω 1 la position et la vitesse de la liaison, φ(x) = (0,0,0, − 3.33 sin(x 3 )) est donc ⎤ ⎥ ⎦ .
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