THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

192 Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
Un résultat similaire peut être déduit pour ω a 2 (x 2). En effet, d’après (D.50), (D.51), (D.80),
(D.82), et (D.93), pour tout t ∈ [t 0 ,t max ) :
{
|ω2(x a 2 (t))| ≤ max β 2 (ρ 2 (x 2 (t 0 )),0),γ ω 1
2 (β 1(ρ 1 (x 1 (t 0 )),0)),γ ω 1
2 (γωa 2
1 (‖ωa 2(x 2 )‖ [t0 ,t))),
≤
γ ω 1
2 (γu 1 (‖u 1‖ [t0 ,t) )),γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) ),γω 1
2 (γωb 2
1 (α 2(ρ 2 (x 2 (t 0 ))))),
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (‖ωa 2(x 2 )‖ [t0 ,t)))),γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t)
}
))),
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) ))) {
max β 2 (ρ 2 (x 2 (t 0 )),0),γ ω 1
2 (β 1(ρ 1 (x 1 (t 0 )),0)),γ ω 1
2 (γu 1 (‖u 1‖ [t0 ,t) )),
γ u 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) ),γω 1
2 (γωb 2
1 (α 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )))),γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (M))),
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) ))),γω 1
2 (γωa 2
1 (‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t))),
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (‖ωa 2(x 2 )‖ [t0 ,t))))
}
.
Alors, en procédant par l’absurde et en utilisant (D.84) et (D.88), on déduit que
|ω a 2(x 2 (t))| ≤ M. (D.94)
Ainsi, en invoquant (D.51), (D.83), (D.81), (D.93) et (D.94), on peut prouver que t max = ∞
(par l’absurde), que le système (D.46)-(D.47) est bien uniformément positivement continu et
que les états du système (D.46)-(D.47) sont bornés : (D.86) est satisfait.
Etape 2. Propriété de stabilité (D.87).
Nous allons démontrer que les conditions de la Proposition D.1.3 sont satisfaites. Premièrement,
on remarque, d’après (D.84), que :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
{
max γ ωa 2
max
≤ max
}
1 ◦ γ ω 1
2 (s),γωb 2
1 ◦ η ωa 2
2 ◦ γ ω 1
2 (s),γωb 2
1 ◦ η ω 1
2
{
(s) }
γ ωa 2
1 ◦ γ ω 1
2 (m),γωb 2
1 ◦ η ωa 2
2 ◦ γ ω 1
2 (m),γωb 2
1 ◦ η ω 1
2 (m) < m si s ∈ [0,m)
{
γ ωa 2
1 ◦ γ ω 1
2 (s),γωb 2
1 ◦ η ωa 2
2 ◦ γ ω 1
2 (s),γωb 2
1 (ηω 1
2 (s)) }
< s si s ∈ [m,M].
(D.95)