THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

130 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS
où x = (x 1 , . . . ,x p ) ∈ R pn , x i ∈ R n et
⎡
⎤
0 I n 0 . . . 0
. 0 I n .
A =
. . .. . .. 0
,
⎢
⎥
⎣ 0 0 I n ⎦
0 . . . . . . . . . 0
C = [I n 0 . . . 0] ∈ R n×np , φ(x) = (φ 1 (x 1 ),φ 2 (x 1 ,x 2 ), . . . ,φ p (x)) avec φ i globalement Lipschitzienne
de constante k φi ∈ R >0 , i ∈ {1, . . . ,p}, p ∈ Z >0 . Lorsque les mesures du système sont
transmises par l’intermédiaire d’un réseau, le problème s’écrit :
ξ ˙ = (A − θ∆ −1
θ
S−1 C T C)ξ − θ∆ −1
θ S−1 C T e + φ(ξ + z) − φ(z) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.82)
ż = Az + φ(z) + θ∆ −1
θ S−1 C T (Cξ + e) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.83)
ė = −CAξ + C(φ(z) − φ(ξ + z)) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.84)
ξ(t + i ) = ξ(t i) (6.85)
z(t + i ) = z(t i) (6.86)
e(t + i ) = h(i,e(t i)), (6.87)
où z = ¯x, h est défini par (4.29), (4.38) ou (4.49), où la séquence d’instants de transmission
{t i } i∈Z>0 est telle que υ ≤ t i − t i−1 ≤ τ, υ ∈ R >0 , τ ∈ [υ,∞), t 0 = 0. Pour les mêmes
raisons qu’au Chapitre 5, nos résultats s’appliquent à cette classe de systèmes paramétrés en
θ. Les Hypothèses 6.4.1 et 6.4.2 sont vérifiées d’après §5.3.2. Le Lemme 5.3.2 nous indique
que l’Hypothèse 6.4.3 est également satisfaite avec K j (θ) = (|C j A| + k φj )γ 1 (θ) et K(θ) =
(|CA| + k φ )γ 1 (θ) pour (6.20). La proposition suivante est une application du Corollaire 6.4.1,
du Théorème 6.4.2 et de §6.3.
Proposition 6.5.2 Considérons le système (6.82)-(6.87), pour tout θ > θ 0 (où θ 0 est défini
dans le Lemme 5.3.2) pour
(i) le protocole RR, si τ ∈ [υ,ˆτ RR (θ)) où
(ii) le protocole TOD, si τ ∈ [υ,ˆτ T OD (θ)) où
(iii) le cas échantillonné, si τ ∈ [υ,ˆτ SD (θ)) où
alors le système est RFC et (6.37) est satisfait.
ˆτ RR (θ) =
1
3(K 1 (θ)+K 2 (θ)+K 3 (θ)) ; (6.88)
ˆτ T OD (θ) =
1
3 3 2 max
j∈{1,...,3} {K j(θ)} ; (6.89)
ˆτ SD (θ) =
1
K(θ) ; (6.90)
La même remarque que pour les observateurs linéaires s’appliquent : on retrouve les mêmes
propriétés de stabilité qu’au chapitre précédent mais avec des bornes nouvelles sur le MATI.