THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 1. Introduction 15
traiter le problème à l’aide d’outils en temps discret : toutes les dynamiques sont ramenées à
celles du contrôleur. Un autre point de vue consiste à voir ce problème comme un système
hybride ou impulsif : le système est commandé par un signal affecté par des sauts aux instants
d’échantillonnage. On peut également aborder le sujet comme un problème de commande à
entrée retardée : l’entrée appliquée au système à l’instant t ∈ [t k ,t k+1 ) est affectée par un
retard variant t − t k (lorsque l’on considère un bloqueur d’ordre zéro). Ces approches sont
détaillées dans la suite de ce chapitre.
Dans cette thèse, le point de vue en temps discret est adopté afin de développer des
contrôleurs pour des classes de systèmes non linéaires incertains.
1.2 Systèmes non linéaires incertains
Dans cette section, des connaissances de base sur les systèmes non linéaires sont rappelées,
puis les méthodes de stabilisation de systèmes incertains poursuivies par la suite présentées.
1.2.1 Modèle non linéaire
La plupart des systèmes physiques ont un comportement dynamique par nature non
linéaire. Ces non-linéarités donnent lieu à des modèles mathématiques souvent difficiles à
analyser, c’est pourquoi une alternative consiste à linéariser le comportement du système
autour d’un point de fonctionnement. Cette approximation présente l’avantage d’être beaucoup
simple à étudier. En contrepartie, ces modèles ne sont valables que localement et ne
permettent par conséquent pas de représenter fidèlement les trajectoires du système pour
de larges plages de fonctionnement. De plus, certains phénomènes fortement non linéaires
comme les saturations (des signaux de commande), les hystérésis (dues aux amplificateurs
opérationnels), les relais (électromécaniques ou électriques), ne peuvent être linéarisés.
Le comportement dynamique d’un système non linéaire est généralement représenté comme
un ensemble d’équations différentielles ordinaires couplées du premier ordre :
⎧
ẋ 1 = f 1 (t,x 1 , . . . ,x n ,u 1 , . . . ,u m )
ẋ 2 = f 2 (t,x 1 , . . . ,x n ,u 1 , . . . ,u m )
⎪⎨
⎪⎩
.
ẋ n = f n (t,x 1 , . . . ,x n ,u 1 , . . . ,u m )
y 1 = h 1 (t,x 1 , . . . ,x n ,u 1 , . . . ,u m )
.
y p = h p (t,x 1 , . . . ,x n ,u 1 , . . . ,u m ),
(1.1)
qui se résume à
{
ẋ = f(t,x,u)
y = h(t,x,u),
(1.2)