THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 187
Ainsi, pour t ∈ [t 0 ,∞), on a d’après (D.62), (D.67) et (D.69) :
{
|ω 1 (x 1 (t))| ≤ max β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,t − t 0 ),γ ωa 2
1 (β 2(|ω2(x a 2 (t 0 ))|,0)),
}
γ ωa 2
1 (γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) )),γωa 2
1 (γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) )),γu 1 (‖u 1 ‖ [t0 ,t) ) {
‖ω 1 (x 1 )‖ [t0 ,t)
≤ max β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0),γ ωa 2
1 (β 2(|ω2(x a 2 (t 0 ))|,0)),
par symétrie,
γ ωa 2
1 (γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )),γu 1 (‖u 1‖ [t0 ,t) ),m }, (D.70)
{
‖ω2 a (x 2)‖ [t0 ,t)
≤ max β 2 (|ω2 a (x 2(t 0 ))|,0),γ ω 1
2 (β 1(|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0)),
γ ω 1
2 (γu 1 (‖u 1‖ [t0 ,t) )),γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) ),m }. (D.71)
D’autre part, d’après (D.54) pour tout t ∈ [t 0 ,t max ) :
{
|ω2(x a 2 (t))| ≤ max β 2 (|ω2(x a 2 ( t 2 ))|, t }
2 ),γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [
t
2 ,t)),γu 2 (‖u 2 ‖ [
t
,t)) , (D.72)
2
par conséquent d’après (D.52), (D.70), (D.71) et (D.72) :
{
|ω 1 (x 1 (t))| ≤ max β 1 (|ω 1 (x 1 ( t 2 ))|, t }
2 ),γωa 2
1 (‖ωa 2(x 2 )‖ [
t
2 ,t)),γu 1 (‖u 1 ‖ [
t
,t)) 2
{
≤ max β 1 (β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0), t 2 ),β 1(γ ωa 2
1 (β 2(|ω2(x a 2 (t 0 ))|,0)), t 2 ),
β 1 (γ ωa 2
1 (γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) )), t 2 ),β 1(γ u 1 (‖u 1 ‖ [t0 ,t) ), t 2 ),
β 1 (m, t 2 ),γωa 2
1 (β 2(β 2 (|ω a 2(x 2 (t 0 ))|,0), t 2 )),
γ ωa 2
1 (β 2(γ ω 1
2 (β 1(|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0)), t 2 )),
Un résultat analogue est vérifié par ω a 2 (x 2), ainsi,
γ ωa 2
1 (β 2(γ ω 1
2 (γu 1 (‖u 1 ‖ [t0 ,t) )), t 2 )),γωa 2
1 (β 2(γ u 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) ), t 2 )),
γ ωa 2
1 (β 2(m, t 2 )),γωa 2
1 (γω 1
2 (‖ω 2
1(x 1 )‖ [
t
2 ,t))),γωa 1 (γu 2 (‖u 2 ‖ [
t
,t))), 2
}
γ1 u (‖u 1 ‖ [
t
,t)) .
2
max { |ω 1 (x 1 (t))|,|ω a 2 (x 2(t))| } ≤ max
{
˜β(max
{
|ω1 (x 1 (t 0 ))|,|ω a 2 (x 2(t 0 ))| } ,t − t 0 ),
˜σ u (max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u 2‖ [t0 ,t)
}
),˜σ m (m),
γ ωa 2
1 (γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [0,t)
)),
γ ω 1
2 (γωa 2
1 (‖ω 1(x 1 )‖ [0,t)
))
}
, (D.73)