THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné 51
Nous nous intéresserons, dans notre étude, à l’approximation d’Euler de la classe de
systèmes étudiée. Dans le cas général où le signal exogène d est élément de L n+1
∞ , l’approximation
suivante sera considérée, pour k ∈ Z ≥0 :
x((k + 1)T ) = x(kT ) +
∫ (k+1)T
kT
f(x(kT ),u(kT ),d(s)) ds. (3.11)
Lorsque d est continûment dérivable (comme dans §3.5), le modèle approximé d’Euler peut
prendre la forme suivante, pour k ∈ Z ≥0 :
x((k + 1)T ) = x(kT ) + T f(x(kT ),u(kT ),d(kT )). (3.12)
Il n’est pas nécessaire de connaître l’expression analytique du discrétisé exact afin de
prouver qu’une approximation est fortement consistante. Des conditions suffisantes sont par
exemple proposées dans la Proposition 1.5 de [112]. Dans notre cas, si l’on nomme les approximés
d’Euler de (3.11) et (3.12) respectivement F Euler, 1
T
et F Euler, 2
T
, on peut voir que
FT e = F Euler, i
T
+ O(T 2 ), i ∈ {1,2}, et que, par définition des grand « O », (3.10) est satisfaite.
Ces approximations sont donc fortement consistantes avec (3.3).
En conséquence, les propriétés de stabilité de (3.3) peuvent être déduites de l’analyse de
la stabilité de (3.4) (de manière équivalente de (3.11) ou (3.12)) d’après le théorème suivant
qui est une conséquence directe du Théorème 3.2 dans [108].
Théorème 3.2.1 Si le système (3.4) est Lyapunov SP-SEE (SP-AS) et si l’entrée est localement
uniformément bornée, c’est-à-dire que pour tout ∆ x ∈ R >0 il existe T ∗ ,∆ u ∈ R >0 tels
que, pour tout T ∈ (0,T ∗ ) et |x| ≤ ∆ x on a
|u T (x)| ≤ ∆ u , (3.13)
alors le système discrétisé exact (3.3) est également SP-SEE (SP-AS).
Les propriétés de stabilité du système à données échantillonnées original (3.2) peuvent
ensuite être déduites de celles du discrétisé exact sous de faibles conditions, cf. [155].
3.3 Problématique
L’objectif de ce chapitre est de synthétiser des lois de commande qui garantissent des
propriétés de stabilité semiglobale pour les systèmes sous forme strict-feedback :
˙η = f(η) + g(η)ξ + d 1 (3.14)
˙ξ = u + d 2 , (3.15)
où x = (η, ξ) ∈ R n+1 avec η ∈ R n et ξ ∈ R, est le vecteur d’état, u ∈ R celui d’entrée qui
est échantillonné et bloqué à une période constante T ∈ R >0 . Les champs de vecteur f ∈
C 1 (R n ,R n ) et g ∈ C 1 (R n ,R) sont supposés connus et f(0) = 0. Le vecteur d = (d 1 ,d 2 ) ∈ L n+1
∞