THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

104 Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS
γ e 1 ∈ R >0 obtenu est différent selon la méthode employée, or celui-ci a une grande influence
sur le MATI. Puisqu’il est difficile d’affirmer que l’une ou l’autre méthode fournit l’estimé le
plus précis, nous préférons laisser le choix à l’utilisateur.
Preuve. Soient ξ 0 ∈ R n ξ
et e ∈ L ne
∞.
1. Analyse à l’aide de fonctions de Lyapunov
Puisque (A − ΛC) est Hurwitz, pour toute matrice Q réelle symétrique et définie positive, il
existe une matrice P ayant les mêmes propriétés telle que : (A − ΛC) T P + P (A − ΛC) = −Q
(cf. Théorème 4.6 dans [98]). Dérivons V (ξ) = ξ T P ξ le long de (5.61) :
˙V ≤ −λ min (Q)|ξ| 2 + 2|ξ||P Λ||e|
≤
− λ min(Q)
λ max (P ) V + 2 |P Λ|
√
λmin (P ) |e|√ V . (5.67)
Soit Ṽ = √ V , (5.67) donne :
˙Ṽ ≤ − λ min(Q)
2λ max (P )Ṽ
+
|P Λ|
√
λmin (P ) |e|,
ainsi, en invoquant le principe de comparaison (Lemme 3.4 dans [98]), on peut montrer que,
pour tout t ≥ t 0 ≥ 0 :
Ṽ (t) = √ V (t) ≤ exp
(
− λ min(Q) √V
2λ max(P ) 0)) (t − t 2λ (t0 ) +
max(P )
√ |P Λ| ‖e‖ λmin (P )λ min (Q) [t 0 ,t) ,
ainsi,
|ξ(t)|
≤
√
λmax(P )
λ min (P ) exp (
)
2λ max(P ) (t − t λ
0) |ξ 0 | + 2 max(P )
λ min (P )λ min (Q) |P Λ| ‖e‖ [t 0 ,t) . (5.68)
− λ min(Q)
Le résultat désiré est obtenu avec :
γ1 e λ max (P )
= 2
|P Λ|. (5.69)
λ min (P )λ min (Q)
2. Analyse basée sur la solution analytique
On peut directement obtenir la propriété de stabilité entrée-état en intégrant le système
(5.61). En effet, lorsque la condition initiale est ξ 0 ∈ R n ξ, la solution de (5.61) est :
ξ(t) = exp (t(A − ΛC)) ξ 0 − ∫ t
0
exp ((t − s)(A − ΛC)) Λe(s) ds. (5.70)
Par conséquent,
∫ t
|ξ(t)| ≤ | exp (t(A − ΛC)) ξ 0 | +
∣ exp ((t − s)(A − ΛC)) Λe(s) ds
∣
0
(∫ t
)
≤ | exp (t(A − ΛC)) ξ 0 | + |exp ((t − s)(A − ΛC)) Λ| ds ‖e‖ [0,t) . (5.71)
0
Il suffit alors de borner ∫ t
0 |exp ((t − s)(A − ΛC)) Λ| ds pour obtenir γe 1 . □