THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

150 Chapitre 7. Convergence semiglobale pratique d’observateurs émulés pour les NCS
2. il existe β ∈ KL, σ ∈ K, ¯σ,δ ∈ KK, tel que pour tout τ ∈ [υ,τ ∗ (ε,∆)), (ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈
R n ξ+n e+n z
et w ∈ L nw
∞ avec max { }
|ξ 0 |,|e 0 |,|z 0 |, ‖w‖ ∞ < ∆, les solutions de (7.1)-(7.6)
satisfont, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0,
|(ξ(t),e(t))| ≤ max { β(|(ξ 0 ,e 0 ,z 0 )|,t − t 0 ),σ(‖w‖ [t0 ,∞) ),¯σ(τ ∗ , ‖w‖ [t0 ,∞) ),δ(τ ∗ ,∆),ε } .
(7.31)
D’après le Théorème D.3.2, la fonction δ dans (7.20) et (7.31) s’annule lorsque γ z 2 = 0.
Nous nous intéressons à ce cas dans la suite de cette section. L’hypothèse suivante est plus
restrictive que l’Hypothèse 7.2.3.
Hypothèse 7.2.5 Il existe β 2 ∈ KL, γ2 e,γw 2 ∈ K tels que, pour tout ξ 0 ∈ R n ξ, (e, w) ∈ L ne+nw
∞
et z(t) défini pour tout t ∈ R ≥0 , les solutions de (7.1) satisfont :
}
|ξ(t)| ≤ max
{β 2 (|ξ 0 |,t − t 0 ),γ2(‖e‖ e [t0 ,t) ),γw 2 (‖w‖ [t0 ,t) ) ∀t ≥ t 0 ≥ 0, (7.32)
que l’on réécrit
}
|ξ(t)| ≤ max
{β 2 (|ξ 0 |,t − t 0 ),γ2 W (‖W ‖ [t 0 ,t) ),γw 2 (‖w‖ [t 0 ,t) )
avec γ W 2
= γ e 2 ◦ α−1 1 .
∀t ≥ t 0 ≥ 0, (7.33)
Remarque 7.2.6 L’Hypothèse 7.2.5 implique que le système (7.1) est stable entrée-état visà-vis
de (z,e,w) et peut donc être vérifiée à l’aide de la Proposition B.2.2. Pour reprendre la
Remarque 5.2.7, z doit juste être défini pour tout t ∈ R ≥0 .
Lorsque l’Hypothèse 7.2.2 est satisfaite avec γ2 z = 0, il n’est plus nécessaire de supposer
le système (7.2) UEBEB vis-à-vis de (ξ,e,w), mais simplement uniformément positivement
complet par rapport à ces entrées.
Hypothèse 7.2.6 Le système (7.2) est uniformément positivement complet pour les entrées
(ξ,e,w) ∈ L n ξ+n e+n w
∞ , i.e. il existe α 2 ,η t 2 ,ηξ 2 ,ηe 2 ,ηw 2 ∈ K tels que, pour tout z 0 ∈ R nz , (ξ,e,w) ∈
L n ξ+n e+n w
∞ , les solutions de (7.2) vérifient, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0 :
}
|z(t)| ≤ max
{α 2 (|z 0 |),η2(t t − t 0 ),η ξ 2 (‖ξ‖ [t 0 ,t) ),ηe 2(‖e‖ [t0 ,t) ),ηw 2 (‖w‖ [t0 ,t) ) , (7.34)
que l’on réécrit
avec η W 2
|z(t)| ≤ max
= η e 2 ◦ α−1 1 .
{α 2 (|z 0 |),η t 2 (t − t 0),η ξ 2 (‖ξ‖ [t 0 ,t) ),ηW 2 (‖W ‖ [t 0 ,t) ),ηw 2 (‖w‖ [t 0 ,t) ) }
, (7.35)
Théorème 7.2.2 Supposons que les Hypothèses 7.2.1,7.2.5,7.2.6 soient vérifiées et que l’Hypothèse
7.2.2 soit garantie avec γ z 1 = 0, pour tout ∆,ε ∈ R >0, il existe τ ∗ (ε,∆) ∈ [υ,τ 0 ) (défini
dans (7.38)) tel que :
1. pour tout τ ∈ [υ,τ ∗ (ε,∆)), (ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n e+n z
et w ∈ L nw
∞ avec max { |ξ 0 |,|e 0 |,
‖w‖ ∞
}
< ∆, le système (7.1)-(7.6) est uniformément positivement complet ;