THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

54 Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné
D’après (3.21) et en nommant ∆W T = W T (¯η + ) − W T (η),
où
( ) ∂W T
∆V T = ∆W T +
∂η (η♦ ) T g(η)(ξ − ¯ξ T (η)) − 1 2 (ξ − ¯ξ T (η)) 2
+ 1 2 (ξ + T u T + ˜d 2 − ¯ξ T (η + )) 2
( ) ∂W T
= ∆W T +
∂η (η♦ ) T g(η)(ξ − ¯ξ T (η)) − 1 2 (ξ − ¯ξ T (η)) 2
(
(1 − cT − T (1 − cT ))(ξ − ¯ξ T (η)) − T
( ∂W
∂η (¯η+ 0 ) ) T
g(η)
+ 1 2
−T (1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))| ∂ ¯ξ T
∂η (η+ 0 )|2 + ˜d 2 + ¯ξ T (η 0 + ) − ¯ξ
) 2
T (η + )
( ) ∂W T
= ∆W T +
∂η (η♦ ) T g(η)(ξ − ¯ξ T (η)) − cT (ξ − ¯ξ T (η)) 2
+c 2 T 2
2 (ξ − ¯ξ T (η)) 2 + (1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))Λ + 1 2 Λ2 ,
Λ = −T (1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η)) − T
( ∂W
∂η (¯η+ 0 ) ) T
g(η)
−T (1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))| ∂ ¯ξ T
∂η (η+ 0 )|2 + ˜d 2 + ¯ξ T (η + 0 ) − ¯ξ T (η + ). (3.23)
Grâce au théorème de la valeur moyenne, on obtient :
−T (1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))
(
∂W
∂η (¯η+ 0 ) ) T
g(η) +
(
∂W
∂η (η♦ )) T
T g(η)(ξ − ¯ξT (η))
≤ T (ξ − ¯ξ T (η))
(
∂W
∂η (η♦ ) − ∂W
∂η (¯η+ 0 ) ) T
g(η) + cT
2 ˜M
3
≤ (c ˜M + ˜M 2 )T 2 ˜M 2 .
(3.24)
(
En majorant Λ 2 par T 2 ˜M
2
2 + 2 ˜M + ˜M
) 2 2 et toujours avec le théorème de la valeur moyenne,
on a :
∆V T ≤ ∆W T − cT (ξ − ¯ξ T (η)) 2
+(1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))(¯ξT (η 0 + ) − ¯ξ T (η + ) − T (1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))
−T (1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))| ∂ ¯ξ T
∂η (η+ 0 )|2 + ˜d
)
2
+T 2 ˜M 2 ( ( ˜M 2 + 2 ˜M + 2) 2 + c ˜M + ˜M 2) . (3.25)
Le terme ¯ξ T (η + 0 ) − ¯ξ T (η + ) peut être écrit, à l’aide du théorème de la valeur moyenne, comme