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124 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS identifiées. Par conséquent, le Théorème 6.2.1 nous informe qu’il existe ˜σ ∈ KL telle que, pour tout (ξ 0 ,z 0 ,e 0 ) ∈ R n ξ+n z+n e , le long des solutions de (6.23)-(6.28), pour tout t ∈ [0,∞) : |e(t)| ≤ ˜σ(|ξ 0 | + |z 0 | + |e 0 |,t). (6.47) Finalement, toujours à l’aide du Théorème 6.2.1 et d’arguments similaires, d’après (6.43), (6.46), (6.47), on montre qu’il existe ˇσ ∈ KL telle que pour tout (ξ 0 ,z 0 ,e 0 ) ∈ R n ξ+n z+n e , le long des solutions de (6.23)-(6.28), pour tout t ∈ [0,∞) : |ξ(t)| ≤ ˇσ(|ξ 0 | + |z 0 | + |e 0 |,t). (6.48) Le résultat désiré est obtenu. □ Alors que les analyses conduites au Chapitre 5 reposent sur les propriétés de stabilité intrinsèques des protocoles, le problème est ici traité différemment, au cas par cas. Des hypothèses similaires à celles utilisées au Théorème 5.2.2 permettent d’assurer la convergence asymptotique de l’erreur d’observation (ainsi que de l’erreur induite par le réseau) vers l’origine, lorsqu’aucune perturbation n’affecte le système. Les différences entre les conditions requises sont de deux ordres. Premièrement, il n’est pas nécessaire que le système (6.23) soit stable entrée-état vis-à-vis de e avec un gain linéaire mais que (6.23)-(6.24) soit stable entréesortie de e à ξ avec des gains non linéaires, ce qui est moins restrictif. On doit cette extension au fait que le théorème du petit gain de [91] ne requiert pas la bornitude des états du système (on rappelle que lorsque la stabilité est entrée-sortie au Chapitre 5, il est nécessaire de supposer le système (6.24) soit UEBEB, tandis que la complétude robuste positive suffit ici). D’autre part, la stabilité du sous-système (6.25)-(6.28) est analysée différemment, en intégrant (6.34) ce qui permet de le considérer comme étant en interconnexion avec lui-même, et non pas avec (6.23),(6.26), (6.24),(6.27) comme au Chapitre 5. Les bornes sur le MATI de cette étude sont en conséquence différentes des précédentes et ne dépendent que des gains de l’Hypothèse 6.4.3. Il est difficile d’affirmer qu’une méthode est plus précise que l’autre puisque les conditions sur les trajectoires et donc les gains sont différents. Nous ferons ce travail numériquement sur des exemples à la fin du chapitre. Les deux résultats suivants sont des conséquences directes du Théorème 6.4.1. Corollaire 6.4.1 Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.3 soient vérifiées, pour le protocole RR, si l∑ τK j < 1 (6.49) j=1 alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et (6.37) est garanti.
Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS 125 Corollaire 6.4.2 Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.2 soient vérifiées et qu’il existe ¯σ j ∈ KL et K j ∈ R ≥0 tels que le long des solutions de (6.23)-(6.24), pour tout j ∈ {1, . . . ,l}, (ξ 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n z et e ∈ L ne ∞, pour tout t ∈ R ≥0 : |L fP h j P (h O(z)) − L fP h j P (h O(z) + ξ)| ≤ ¯σ j (|ξ 0 | + |z 0 |,t) + K j ‖e j ‖ [t0 ,t) , (6.50) pour tout protocole à excitation persistante, si pour tout j ∈ {1, . . . ,l} alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et (6.37) est garanti. τ j K j < 1, (6.51) Remarque 6.4.5 La condition (6.50) est moins générale que (6.34) puisque le terme de droite ne dépend que du sous-vecteur e j . Cela signifie, en général, que le système est composé de l sous-systèmes indépendants les uns des autres, correspondant à chaque nœud. Dans de tels cas, les bornes sur le MATI obtenues sont moins restrictives que celle du Théorème 6.4.1. 6.4.3 Pour des protocoles TOD L’ordonnacement du réseau par un protocole TOD est maintenant étudié. On nomme ς la fonction qui attribue l’accès au réseau à un nœud, ς : R ≥0 × R ne → {1, . . . ,l} constante par morceaux, lorsque le nœud j a été choisi à l’instant t i , ς(t,e) = j pour t ∈ [t i ,t i+1 ), et e j (t i ) = 0. Un résultat technique préliminaire est nécessaire à l’analyse. Lemme 6.4.1 Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.3 soient vérifiées, pour le protocole TOD, pour tout (ξ 0 ,z 0 ,e 0 ) ∈ R n ξ+n z+n e , e ∈ L ne ∞ , j ∈ {1, . . . ,l}, i ≥ l−1, t ∈ [τ i,τ i+1 )∩[0,t max ) ([0,t max ) est l’intervalle maximal d’existence des solutions, t max ∈ R >0 ∪ {∞}), les solutions de (6.23)-(6.28) vérifient : l∑ |e j (t)| ≤ lτ ¯σ k (|ξ 0 | + |z 0 |,τ i−l+1 ) + lτ max {K k} ‖e‖ [0,t) . (6.52) k∈{1,...,l} k=1 Preuve. Soient (ξ 0 ,z 0 ,e 0 ) ∈ R n ξ+n z+n e , e ∈ L ne ∞, j ∈ {1, . . . ,l} et i ≥ l −1. Si ς j (τ i ,e(τi − )) = j, (6.52) est vérifié. Concentrons-nous sur le cas où ς j (τ i ,e(τi − ))) ≠ j. Pour tout t ∈ [τ i,τ i+1 ) ∩ [0,t max ), d’après (6.34) : |e j (t)| ≤ τ ¯σ j (|ξ 0 | + |z 0 |,τ i ) + τK j ‖e‖ [0,t) + |e j (τ i )|. (6.53) Deux cas doivent être distingués. (a) Pour tout k ∈ {i − l + 1, . . . ,i}, ς j (τ k ,e(τ − k )) ≠ j, alors, puisque i ≥ l − 1, au moins un
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Continuous-discreteadaptive observe
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