THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

108 Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS
où x = (x 1 , . . . ,x p ) ∈ R pn , x i ∈ R n et
A =
⎡
⎤
0 I n 0 . . . 0
. 0 I n .
. . .. . .. 0
,
⎢
⎥
⎣ 0 0 I n ⎦
0 . . . . . . . . . 0
C = [I n 0 . . . 0] ∈ R n×np , φ(x) = (φ 1 (x 1 ),φ 2 (x 1 ,x 2 ), . . . ,φ p (x)) avec φ i globalement Lipschitzienne
de constante k φi ∈ R >0 , i ∈ {1, . . . ,p}, p ∈ Z >0 .
Remarque 5.3.3 Dans [51], il est expliqué sous quelles conditions une classe de systèmes
non linéaires peut être transformée en (5.81)-(5.82), à l’aide de changements de coordonnées
appropriés.
L’observateur continu est de la forme :
˙¯x = A¯x + φ(¯x) + θ∆ −1
θ S−1 C T (y − ȳ) (5.83)
ȳ = C ¯x, (5.84)
où ∆ θ = diag ( I n , 1 θ I n, . . . ,
1
θ p−1 I n
)
, θ ∈ R>0 , la matrice S est l’unique solution de l’équation
algébrique de Lyapunov :
S + A T S + SA − C T C = 0. (5.85)
Considérons la séquence d’instants de transmission {t i } i∈Z>0 telle que υ ≤ t i − t i−1 ≤ τ
pour tout i ∈ Z >0 , υ, τ ∈ R >0 et t 0 ∈ R ≥0 est l’instant initial. Le système (5.81)-(5.84) est
écrit dans les coordonnées (ξ,z,e) :
ξ ˙ = (A − θ∆ −1
θ
S−1 C T C)ξ − θ∆ −1
θ S−1 C T e + φ(ξ + z) − φ(z) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ](5.86)
ż = Az + φ(z) + θ∆ −1
θ S−1 C T (Cξ + e) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ](5.87)
ė = ˆf P (z) − CA(ξ + z) − Cφ(ξ + z) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ](5.88)
ξ(t + i ) = ξ(t i) (5.89)
z(t + i ) = z(t i) (5.90)
e(t + i ) = h(i,e(t i)), (5.91)
où z = ¯x, ˆfP est soit défini par (4.46) soit (4.48) et h par (4.29), (4.38) ou (4.49).
Remarque 5.3.4 Le système (5.86)-(5.91) est en réalité une famille paramétrée de systèmes
en le gain θ. Bien que les résultats de §5.2 ne soient pas énoncés pour de tels systèmes, nous
verrons que l’on peut bien les appliquer.