THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 207
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )))))),γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) ))))),
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (m))),
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (‖ωa 2(x 2 )‖ [
t
2 ,t)))),
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2 ‖ [
t
,t)))), 2
γ ω 1
2 (γu 1 (‖u 1‖ [
t
,t))), 2
γ u 2 (‖u 2 ‖ [
t
2 ,t)) }
. (D.109)
que l’on écrit sous la forme :
|ω a 2 (x 2(t))| ≤ max
{
˜β2 (max { |ω 1 (x 1 (t 0 ))|,|ω 2 (x 2 (t 0 ))| } ,t)
˜σ u 2 (max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u 2‖ [t0 ,t)
}
),
˜σ 2 m (m),˜σω 2 (max { |ω 1 (x 1 (t 0 ))|,|ω 2 (x 2 (t 0 ))| } ),
}
γ ω 1
2 (γωa 2
1 (‖ωa 2 (x 2)‖ [
t
2 ,t))),γω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t)))) , (D.110)
où, pour (s,t) ∈ R 2 ≥0 ,
{
˜β 2 (s,t) = max β 2 (2β 2 (s,0), t 2 ),β 2(2γ ω 1
2 (β 1(s,0)), t 2 ),
β 2 (2γ ω 1
2 (γωb 2
1 (α 2(s))), t 2 ),
β 2 (2γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (β 1(s,0)))), t 2 ),
β 2 (2γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωa 2
1 (β 2(s,0))))), t 2 ),
β 2 (2γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωb 2
1 (α 2(s))))), t 2 ),
β 2 (2γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (β 2(s,0)))))), t 2 ),
β 2 (2α 2 (s), t 2 ),β 2(2η ω 1
2 (β 1(s,0)), t 2 ),
β 2 (2η ω 1
2 (γωa 2
1 (β 2(s,0))), t 2 ),β 2(2η ω 1
2 (γωb 2
1 (α 2(s))), t 2 ),