THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

100 Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS
où, pour s ∈ R ≥0 , selon le Lemme A.1.2, en écrivant
1
1−ζ(τ)γ e 1 γξ 2
= 1 + ζ(τ)γe 1 γξ 2
,
1−ζ(τ)γ1 eγξ 2
σ(s) = λ 1 γ1 ws + ˜β ( 4γ1 ws + 4γw 3 s + 4γξ 3 γw 1 s,0)
)
¯σ(τ,s) = ζ(τ)γe 1 γξ 2
λ
1−ζ(τ)γ1 e 1 γ w γξ 1 s + ζ(τ)
(λ
2
1−ζ(τ)γ1 e 2 γ ξ γξ 2 γw 1 s + (λ 2 + λ 1 γ1 e)γw 2
( [
s 2
ε(τ,∆) =
]
γ ξ 3 + (γξ 3 γe 1 + γe 3 )(γξ 2 + γz 2 γξ 3 ) ζ(τ)
d(τ)
γ1 w ] )
s
1 + (γ ξ 3 γe 1 + γe 3 ) ζ(τ)
d(τ) γz 2 γ3 ws + ˜β
( [
]
4 1 + γ3 e + γe 1 + ζ(τ)
[ )
γe 1 γξ 3 d(τ) (γ
ξ
2 + γz 2 γξ 3 )γw 1 s + γw 2 s + γz 2 γw 3
],0
( [
]
s γ2 zζ(τ)
[λ
1−ζ(τ)γ1 e 1 γ e γξ 1 + λ 2] (γ ξ 3 γe 1 + γe 3 )(γξ 2 + γz 2 γξ 3 ) ζ(τ)
d(τ) + γξ 3 β 1 (s,0)
2
[
] )
+(γ ξ 3 γe 1 + γe 3 ) 1
d(τ) β 2(s,0) + 1 + (γ ξ 3 γe 1 + γe 3 ) ζ(τ)
d(τ) γz 2 α(s) .
+ γz 2 ζ(τ) [λ
1−ζ(τ)γ1 e 1 γ γξ 1 e + λ 2]
2
[
+(γ ξ 3 γe 1 + γe 3 ) ζ(τ)
d(τ) γw 2 s +
(5.42)
On constate que σ ∈ K et, en fixant τ ∈ [0,τ 1 ), que ¯σ(τ,·) ∈ K. En effet, soit s ∈ R ≥0 , ¯σ(·,s)
est continue sur [0,τ 1 ) et égale à 0 en 0 (puisque ζ et d sont continues sur [0,τ 1 ) et ζ(0) = 0,
d(0) = 1). De plus, puisque ζ est strictement croissante sur [0,τ 1 ), telles sont τ ↦→
τ ↦→ ζ(τ)
d(τ)
1
et τ ↦→
d(τ)
, on en déduit que ¯σ(·,s),ε(·,s) ∈ K.
□
ζ(τ)
1−ζ(τ)γ e 1 γξ 2
,
Remarque 5.2.4 Les conditions initiales sont bornées par ∆ dans l’énoncé du Théorème
5.2.1 uniquement afin d’obtenir une dépendance de la fonction ε uniforme et croissante en le
rayon de la boule de conditions initiales étudiée. Le MATI ne dépend pas de ∆.
D’après le Théorème 5.2.1, lorsque w = 0, l’erreur d’observation ne converge pas asymptotiquement
vers l’origine mais la boule centrée en 0 de rayon ε(τ,∆). Il est montré dans §5.2.2
que la convergence asymptotique vers l’origine est garantie lorsque γ2 z = 0 (et l’Hypothèse
5.2.4 peut être relaxée). Le cas où γ2 z ≠ 0 apparaît typiquement lorsque qu’un bloqueur
d’ordre zéro est employé, comme nous le montrerons dans §5.3. En effet, dans ce cas, l’observateur
reçoit les mesures avec un retard à temps variant, t − t i , qui affecte périodiquement
sa convergence. On remarque également que l’on retrouve les propriétés du continu lorsque τ
tend vers zéro.
En pratique, l’Hypothèse 5.2.4 peut être difficile à vérifier. Bien qu’une caractérisation
de Lyapunov soit disponible pour la stabilité UEBEB [14], dans certains cas, il est plus
avantageux de tirer parti de la stabilité supposée du système à observer (4.14)-(4.15) afin
d’obtenir des conditions similaires sur |z(t)|. Supposons que le système (4.14) soit UEBEB
avec w comme entrée et un gain linéaire, i.e. il existe α 0 ∈ K, σ 0 ∈ R ≥0 tels que pour tout
x 0 ∈ R nx et w ∈ L nw
∞ ,
|x(t)| ≤ α 0 (|x 0 |) + σ 0 ‖w‖ [t0 ,t)
∀t ≥ t 0 ≥ 0, (5.43)
et supposons qu’il existe β 3 ∈ KL, γ x 3 ,γe 3 ,˜γw 3 ∈ R >0 tels que, le long des solutions de (5.2),
pour tout z 0 ∈ R nz , (x,e,w) ∈ L nx+ne+nw
∞ :
|z(t)| ≤ β 3 (|z 0 |,t − t 0 ) + γ x 3 ‖x‖ [t 0 ,t) + γe 3 ‖e‖ [t 0 ,t) + ˜γw 3 ‖w‖ [t 0 ,t)
∀t ≥ t 0 ≥ 0. (5.44)