THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 181
ε ∈ (0,δ −1 (∆)), x(t 0 ) ∈ R nx et u ∈ L nu
∞ avec max { |x(t 0 )|, ‖u‖ ∞
} < δ(ε). Premièrement, on
remarque que, d’après (D.28) et le fait que γ y ∈ K,
{
γ y (s) ≤ γ y (m) < m si s ∈ [0,m)
γ y (s) < s si s ∈ [m,M].
On en déduit, d’après (D.25), (D.26), (D.29) et (D.33), que :
|y(t)| ≤ max { β(|x(t 0 )|,0),γ y (‖y‖ [t0 ,t) ),γu (‖u‖ [t0 ,t) ),c }
y
(D.33)
‖y‖ [t0 ,t)
≤ max { β(δ(ε),0),γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c} , (D.34)
en remarquant que,
(
ε ∈ [0, sup
il s’en suit
ς∈[0,∞)
)
β(ς,0))
(
)
ε ≥ sup
ς∈[0,∞)
β(ς,0)
⇒
⇒
(
)
β(δ(ε),0) ≤ β(ϑ −1 (ε),0) ≤ ε
(
)
β(δ(ε),0) ≤ sup
ς∈[0,∞)
β(ς,0) ≤ ε ,
|y(t)| ≤ ‖y‖ [t0 ,t)
≤ max { ε,γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c} .
Ainsi, le système (D.1)-(D.3) est (˜γ u ,c,∆)-uniformément pratiquement stable et donc (˜γ u ,c, ¯∆)-
uniformément pratiquement stable (puisque ¯∆ ≤ ∆) d’après la Définition D.1.1.
Etape 2. Attractivité (˜γ u ,c, ¯∆)-uniforme pratique.
Soient t 0 ∈ R, r ∈ (0, ¯∆), ε ∈ (c,∞), x(t 0 ) ∈ R nx et u ∈ L nu
∞ avec max { }
|x(t 0 )|, ‖u‖ ∞ < r.
Parallèlement à (D.34),
{
}
|y(t)| ≤ max β(|x(t 0 )|,0),γ y (‖y‖ [t0 ,t) ),γu (‖u‖ [t0 ,t) ),c y
}
‖y‖ [t0 ,t)
≤ max
{β(r,0),γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c . (D.35)
Plusieurs suites sont maintenant définies : (T r
i ) i∈Z ≥0
, ( ˆT r
i ) i∈Z ≥0
et (M r i ) i∈Z ≥0
. Soient T r 0 = 0,
M r 0 = r, T r 1 > 0 est choisi suffisamment grand tel que β(M r 0 ,T r 1 ) ≤ γy (β(r,0)). Soit ˆσ(s) =
max{σ x (s),σ y (β(s,0))} pour s ∈ R ≥0 , Mi r est défini par, pour i ∈ Z >0 :
{
Mi r = max ˆσ(r),σ t (T0 r + . . . + Ti r ),σ y (c),c x
}. (D.36)
D’autre part, Ti+1 r > 0 est choisi suffisamment grand tel que
et ˆT r
i
β(M r i ,T r
i+1 ) ≤ (γy ) i+1 (β(r,0)), (D.37)
= T r 0 + . . . + T r
i , pour i ∈ Z ≥0.