THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

132 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS
RR TOD Echantillonné
ZOH Proposition 5.3.1 (Lyapunov) 0.0014 0.0024 0.013
Proposition 5.3.1 (solution analytique) 0.0022 0.0038 0.021
Pred Proposition 5.3.1 (Lyapunov) 0.0028 0.0049 0.027
Proposition 6.5.1 (Lyapunov) 0.0038 0.0066 0.027
Proposition 5.3.1 (solution analytique) 0.0043 0.0075 0.041
Proposition 6.5.1 (solution analytique) 0.0253 0.0347 0.128
Simulation 0.65 2.48 très grand
Tab. 6.1 – Bornes sur le MATI pour l’observation de (6.91)-(6.92) via le réseau
compte tenu de la stabilité de l’observateur. Nous distinguons dans ce tableau les bornes pour
lesquelles les coefficients du Lemme 5.3.1 sont dérivées à l’aide de fonctions de Lyapunov ou
de la solution analytique (cf. preuve dudit lemme). Pour l’analyse de Lyapunov, le coefficient
dépend évidemment de la fonction choisie. Afin de maximiser le MATI, une procédure d’optimisation
sous contraintes a été utilisée. Nous ne pouvons prétendre avoir obtenu les valeurs
minimales puisque rien ne nous indique que celles-ci existent. C’est la raison pour laquelle,
l’optimisation a été lancée pour un millier de conditions initiales différentes afin d’obtenir un
MATI aussi grand que possible.
On constate, dans un premier temps, que les bornes obtenues à l’aide des solutions analytiques
sont plus grandes et donc plus précises que celles faisant appel à des fonctions de
Lyapunov. Les différentes majorations nécessaires pour cette dernière approche peuvent justifier
cet écart. Nous devons cependant nuancer ce constat car seul un échantillon (bien qu’issu
de procédures d’optimisation) de fonctions de Lyapunov a été testé. D’autre part, la Proposition
6.5.1 fournit des estimations généralement plus larges que la Proposition 5.3.1. On
peut l’expliquer par le fait que les travaux de ce chapitre sont adaptés à chaque protocole,
contrairement au Chapitre 5 qui se veut plus universel. Ainsi, il est plausible que les analyses
proposées offrent une meilleure description du problème et permettent d’obtenir de
meilleurs MATI pour le bloqueur Pred. Il faut également remarquer que les hiérarchies entre
ZOH/Pred et RR/TOD/échantillonné s’avèrent respecter aussi bien par les bornes estimées
que constatées. En effet, pour un même protocole, le bloqueur Pred permet d’élargir le MATI
par rapport au ZOH. Cela semble logique puisque le Pred a pour but de compenser, en quelque
sorte, l’absence d’information sur les mesures du système tandis que le ZOH se contente de
fournir des données retardées. De même, pour une fonction de blocage donnée, le protocole
TOD se révèle supérieur au RR pour de grands MATI. Le cas échantillonné est bien sûr à part,
puisque tous les capteurs communiquent aux mêmes instants, le MATI est donc beaucoup plus
grand. On peut noter que le meilleur rapport MATI en simulation sur MATI estimé est de 25
pour le protocole RR combiné au bloqueur Pred. D’autre part, on remarque que le bloqueur
Pred s’avère très stable puisqu’il permet de considérer de larges MATI, en particulier pour le