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184 Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
Les instants de sauts {t i } i∈Z>0 vérifient, pour tout i ∈ Z >0 :
υ ≤ t i − t i−1 ≤ τ, (D.49)
où υ ∈ R >0 est une constante arbitrairement petite uniquement introduite afin d’éviter l’apparition
du paradoxe de Zénon, τ ∈ [υ,∞) est fixé et t 0 ∈ R ≥0 est l’instant initial. On
définit les fonctions suivantes ω 1 ∈ C(R nx 1 ,R nω 1 ), ω 2 = (ω2 a,ωb 2 ) où ωa 2 ∈ C(Rnx 2 ,R n ω
2 a ),
ω2 b ∈ C(Rnx 2 ,R n ω
2 b ) avec n ω1 ,n ω a
2
,n ω b ∈ Z
2
>0 , telles que
|ω 1 (x 1 )| ≤ ρ 1 (|x 1 |) (D.50)
ρ 2
(|x 2 |) ≤ |ω 2 (x 2 )| ≤ ρ 2 (|x 2 |), (D.51)
où ρ 1 ,ρ 2
,ρ 2 ∈ K ∞ .
Le premier théorème considère une interconnexion classique de deux systèmes qui vérifient
des propriétés de type stabilité entrée-état pour lesquels la condition du petit gain est vérifiée
sur un compact qui ne comprend pas l’origine. En comparaison avec [86, 197], nous proposons
des estimés de la boule de conditions initiales et de l’erreur résiduelle obtenue en fonction des
bornes de ce compact,
Théorème D.2.1 Considérons le système (D.46)-(D.47), supposons qu’il existe β 1 ,β 2 ∈ KL,
γ ωa 2
1 ,γu 1 , γω 1
2 ,γu 2 , α 1,η1 t ,ηω 1
1 ,ηωa 2
1 ,ηωb 2
1 ,ηu 1 ,α 2,η2 t ,ηω 1
2 ,ηωa 2
2 ,ηu 2 ∈ K tels que pour tout x 1(t 0 ) ∈ R nx 1 ,
(x 2 ,u 1 ) ∈ L nx 2 +nu 1
∞ , t ≥ t 0 ≥ 0, les solutions de (D.46) vérifient :
|ω 1 (x 1 (t))| ≤ max { β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,t − t 0 ),γ ωa 2
1 (‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t) ),γu 1 (‖u 1‖ [t0 ,t) )} (D.52)
|x 1 (t)| ≤ max { α 1 (|x 1 (t 0 )|),η t 1(t − t 0 ),η ω 1
1 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),ηωa 2
1 (‖ωa 2(x 2 )‖ [t0 ,t) ),
η ωb 2
1 (‖ωb 2 (x 2)‖ [t0 ,t)),η u 1 (‖u 1‖ [t0 ,t) )} , (D.53)
pour tout x 2 (t 0 ) ∈ R nx 2 , (x 1 ,u 2 ) ∈ L nx 1 +nu 2
∞ , t ≥ t 0 ≥ 0, les solutions de (D.47) vérifient :
|ω a 2 (x 2(t))| ≤ max { β 2 (|ω a 2 (x 2(t 0 ))|,t − t 0 ),γ ω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )} (D.54)
|ω b 2(x 2 (t))| ≤ max { α 2 (|ω b 2(x 2 (t 0 ))|),η t 2(t − t 0 ),η ω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),
et qu’il existe 0 < m < M tels que
η ωa 2
2 (‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t) ),ηu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )} , (D.55)
max { γ ωa 2
1 ◦ γ ω 1
2 (s),γω 1
2 ◦ γ ωa 2
1 (s)} < s pour s ∈ [m,M], (D.56)
sous la condition suivante
où
˜σ m (m) < M, (D.57)
˜σ m (s) = max { β 1 (s,0),γ ωa 2
1 (β 2(s,0)),β 2 (s,0),γ ω 1
2 (β 1(s,0)) } .