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8 Notations ess. sup τ∈[t1 ,t 2 ) |f(τ)| et ‖f‖ ∞ = ess. sup τ∈[t0 ,∞) |f(τ)|. L’ensemble L n ∞ représente l’ensemble des fonctions f : R ≥0 → R n telles que ‖f‖ [0,∞) < r, r ∈ R ≥0 . Opérations sur les fonctions et propriétés Pour des applications f = [f 1 , . . . , f n ] T ∈ C(R n ,R n ) et h ∈ C 1 (R n ,R p ), L f h représente n∑ (∂ i h)f i où ∂ i h est la dérivée première de h par rapport à la ième variable, n, p ∈ Z >0 . On i=1 notera ∂h la dérivée première de h. Pour une fonction f : R ≥0 → R n , n ∈ Z >0 , la notation f(t + ) représente limf(s) où t ∈ R ≥0 , si une telle limite existe. Parallèlement, on note f(t − ) = limf(s), si elle existe. Une fonction R T,r,a : R n → R m est dite un grand o de T r , que l’on note R T,r,a (y) = O(T r ), où y ∈ R n est une variable et T, r, a ∈ R >0 des paramètres, s’il existe une fonction γ r,a de classe K ∞ telle que, pour tout r,a ∈ R, δ ∈ R >0 , il existe ¯T ∈ R >0 tel que pour tout |y| ≤ δ et T ∈ (0, ¯T ), on a : |R T,r,a (y)| ≤ T r γ r,a (|y|). (2) s→t st Vecteurs et matrices Soit (x,y) ∈ R n+m , la notation (x,y) correspond à [x T , y T ] T . Pour une matrice symétrique définie positive A ∈ R n×n , λ min (A) (λ max (A)) symbolise la valeur propre minimale (maximale) de A. La matrice identité est représentée par I ∈ R n×n . Considérant p matrices A 1 , . . . ,A p ∈ R n×n , diag(A 1 , . . . ,A p ) représente la matrice blocdiagonal np × np suivante : ⎡ ⎤ A 1 0 . . . . . . 0 0 A 2 0 . . . . . . 0 .. . .. . . ⎢ . ⎣ . .. . .. . .. ⎥ 0 ⎦ 0 . . . . . . 0 A p Solution d’une équation différentielle ordinaire Soit l’équation différentielle ordinaire : ẋ = f(t,x,u), (3) où x ∈ R n , u ∈ R m , f : R ≥0 × R n × R m → R n , n,m ∈ Z >0 . Pour un instant initial donné t 0 ∈ R ≥0 , une condition initiale x 0 = x(t 0 ) ∈ R nx et un signal d’entrée u ∈ L m ∞, la solution
Notations 9 (ou les solutions) de (3) est notée x(·,t 0 ,x 0 ,u) (si elle existe). Lorsque les dépendances sont suffisamment claires de par le contexte, nous la notons simplement x(t). Divers Pour k ∈ Z ≥0 , i 0 , . . . ,i k ∈ Z ≥0 , I k = {i 0 , . . . ,i k }, Ĩk = i 0 + . . . + i k , Īk = k ∑ j=0 j . i j . Pour une suite réelle {x k } k∈Z≥0 , on notera lim sup k→∞ x k = lim k→∞ (sup p≥k x p ) si elle existe.
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Annexes
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236 Références [202] G.D. Warshaw
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