THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

56 Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné
en utilisant le théorème de la valeur moyenne avec η † = η + T θ 4 (f(η) + g(η)ξ) et θ 4 ∈ (0,1),
on a :
|u T (x)| ≤ (c + 1) ˜M + ˜M 2 + ˜M 3 +
∂ ¯ξ T
∣ ∂η (η† )
∣ |f(η) + g(η)ξ|
≤ (c + 1) ˜M + 2 ˜M 2 + ˜M 3 = ¯M, (3.33)
la loi de commande u T est donc localement uniformément bornée. Par conséquent, d’après
la Définition 3.2.2, le système (3.16)-(3.17), (3.19) est Lyapunov SP-SEE et donc, d’après le
Théorème 3.2.1, le discrétisé exact du système (3.14)-(3.15) contrôlé par (3.19) est SP-SEE,
puisque (3.16-3.17) est une bien approximation fortement consistante.
□
Les contrôleurs (3.19) sont de la forme form u T = u cont + T u dt , où u cont correspond au
blocage de la loi de commande continue [105] et u dt est une composante supplémentaire qui
permet généralement d’élargir le bassin d’attraction et d’augmenter la vitesse de convergence
par rapport à la simple émulation.
3.5 Stabilisation semiglobale pratique asymptotique
Dans cette section, les termes incertains sont supposés suffisamment réguliers et majorés
par des fonctions connues.
Hypothèse 3.5.1
(i) d 1 ∈ C 1 ([t 0 ,∞) × R n+1 ,R n ) et d 2 ∈ C 1 ([t 0 ,∞) × R n+1 ,R).
(ii) Il existe des fonctions connues ρ 1 ∈ C 1 (R n ,R ≥0 ) avec ρ 1 (0) = 0, ρ 2 ∈ C 1 (R n+1 ,R ≥0 )
telles que, pour tout (t,x) ∈ [t 0 ,∞) × R n+1 :
|d 1 (t,x)| ≤ ρ 1 (η)
|d 2 (t,x)| ≤ ρ 2 (x).
Remarque 3.5.1 Ce type d’hypothèse est commune lorsque des systèmes strict-feedback perturbés
sont étudiés [55].
Il ne s’agira plus ici de garantir la robustesse vis-à-vis des perturbations, mais de les
compenser. Puisque la condition (i) de l’Hypothèse 3.5.1 sera supposée vérifiée, le modèle
approximé discret suivant est considéré :
η + = η + T (f(η) + g(η)ξ + d 1 ) (3.34)
ξ + = ξ + T (u + d 2 ) . (3.35)
Les fonctions suivantes sont utilisées par la suite.
Définition 3.5.1 Pour tout ε, T ∈ R >0 , n ∈ Z >0 , la fonction sat T ε,n : R n → R n est définie
par, pour z = (z 1 , . . . ,z n ) ∈ R n : sat T ε,n (z) = ( sat ˜ T ε,1 (z 1 ), . . . , sat ˜ T ε,1 (z n )) avec
{ sign(zi ) si |z
sat ˜
i | ≥ T ε
T ε,1 (z i ) =
n
p T ε (z i ) sinon