THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires 37
Puisque θ = |θ|e ζγ , on a θ i = |θ| i f i (γ) pour i ∈ Z ≥0 , par conséquent d’après (2.31),
∆V (x)
T
= L g1 V (x)u 0 + L g0 V (x)|θ|f 1 (γ)
)
r∑
s∑ ∑k+1
+ T
(L s g1 V (x)u s + p iks (x,U s−1 )|θ| i f i (γ) + O(T r+1 ), (2.32)
s=1
ainsi, d’après (2.20) et (2.21),
∆V (x)
T
s=1
k=1 i=0
= L g1 V (x)u 0 + ¯p 0 (x)f 1 (γ)
)
r∑
s∑ ∑k+1
+ T
(L s g1 V (x)u s + ¯p iks (x,U s−1 )f i (γ) + O(T r+1 ), (2.33)
k=1 i=0
le développement de l’équation aux différences de V est paramétré désormais en γ.
Considérons la fonction W définie dans l’Hypothèse 2.2.1 avec ˜γ = γ − ˆγ :
W (x,˜γ) = V (x) + 1
2α ˜γ2 , (2.34)
où α ∈ R >0 . D’après la loi d’estimation (2.19) le développement de l’équation aux différences
de W s’écrit :
∆W (x,˜γ)
T
+
+
= L g1 V (x)u 0 + ¯p 0 (x)(f 1 (γ) − L 10 (ˆγ)˜γ)
r∑
T s[ L g1 V (x)u s +
s=1
s=1
+ αT 2
k=1 i=1
s∑
k=1
]
¯p 0ks (x,U s−1 )
r∑
T s[ s∑ ∑k+1
]
¯p iks (x,U s−1 ) (f i (γ) − L is (ˆγ)˜γ) − Γ(ˆγ)˜γ
[ r∑
s=1
T s
s∑ ∑k+1
2
¯p iks (x,U s−1 )L is (ˆγ) + ¯p 0 (x)L 10 (ˆγ) + Γ(ˆγ)]
+ O(T r+1 ). (2.35)
k=1 i=1
En appliquant le Lemme 2.3.1, on obtient :
∆W (x,˜γ)
T
+
+
≤
L g1 V (x)u 0 + ¯p 0 (x)S 10 (ˆγ)
r∑
T s[ L g1 V (x)u s +
s=1
s∑
k=1
]
¯p 0ks (x,U s−1 )
r∑
T s[ s∑ ∑k+1
]
¯p iks (x,U s−1 )S is (ˆγ) − Γ(ˆγ)˜γ
s=1
+ αT 2
[ r∑
s=1
k=1 i=1
s∑ ∑k+1
T s
k=1 i=1
D’après l’Hypothèse 2.4.1, on a alors :
∆W (x,˜γ)
T
¯p iks (x,U s−1 )L is (ˆγ) + ¯p 0 (x)L 10 (ˆγ) + Γ(ˆγ)] 2
+ O(T r+1 ). (2.36)
≤ −cV (x) − Γ(ˆγ)˜γ + αT 2 Γ(ˆγ)2 + O(T r+1 ). (2.37)