THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné 49
Comme dans [107, 108], les résultats de notre étude se basent sur le cadre méthodologique
de [150]. Considérant l’approximé d’Euler des systèmes considérés, un retour d’état entrée-état
stabilisant est développé à l’aide des théorèmes de stabilité de [108], pour des perturbations
bornées et mesurables au sens de Lebesgue. Lorsque que des informations sur les bornes des
termes incertains sont disponibles et vérifient certaines propriétés, une classe de retours d’état
est synthétisée afin de compenser leurs effets. Cette dernière peut être vue comme un redesign
des lois de commande continu de type hard de [55]. Il est ainsi montré, sur un exemple, que
les contrôleurs proposés améliorent certaines performances comparés au blocage des lois de
[55].
Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Dans un premier temps, des définitions
et théorèmes relatifs à la stabilité entrée-état des systèmes à données échantillonnées sont
rappelés dans §3.2. Après avoir énoncé la problématique dans §3.3, la stabilisation entrée-état
est ensuite réalisée dans §3.4. La stabilisation semiglobale pratique asymptotique est garantie
lorsque les incertitudes sont bornées par des termes appropriés dans §3.5. Une discussion sur
de possibles extensions de cette étude est proposée dans §3.6. Enfin, un exemple numérique
est présenté afin d’illustrer les résultats obtenus dans §3.7.
3.2 Stabilité entrée-état des systèmes à données échantillonnées
Soit le système non linéaire suivant :
ẋ(t) = f(x(t),u(t),d(t)), (3.2)
où x ∈ R n est le vecteur d’état, u ∈ R m celui d’entrée et d ∈ R m un vecteur de perturbations
exogènes. La fonction f est telle que f(0,0,0) = 0. La fonction d est mesurable au sens
de Lebesgue et la commande u est échantillonnée à une période fixe donnée T ∈ R >0 . Un
bloqueur d’ordre zéro est utilisé afin de convertir le signal discret du contrôleur en un signal
continu. Le système discrétisé exact de (3.2) est donné par, sur [kT,(k + 1)T ) pour k ∈ Z ≥0 ,
x((k + 1)T ) = F e T (x(kT ),u(kT ),d[kT ]), (3.3)
où d[kT ] = {d(t) : t ∈ [kT,(k + 1)T )}. En général, l’expression analytique de FT
e n’est pas
connue puisqu’il faudrait, pour cela, résoudre un problème de Cauchy non linéaire, ce qui est
d’autant plus difficile voire impossible compte tenu du fait que FT e dépend de perturbations
(voir §5.2 dans [107]). Pour ces raisons, nous considérons un modèle discret approximé de
(3.2) :
x((k + 1)T ) = FT a (x(kT ),u(kT ),d[kT ]). (3.4)
Le problème est alors de savoir si les propriétés de stabilité obtenues pour (3.4) sont satisfaites
par le discrétisé exact. Après avoir rappelé quelques définitions, un théorème faisant le lien
entre la stabilité de ces deux systèmes est présenté.