THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

30 Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires
à la fin de cette section. Finalement, un exemple numérique illustre les résultats théoriques
obtenus dans §2.5.
2.2 Problématique
Considérons la classe de systèmes non linéaires suivante :
ẋ(t) = g 0 (x(t))θ + g 1 (x(t))u(t), (2.1)
où x ∈ R n est le vecteur d’état, u ∈ R le signal d’entrée, θ ∈ R un paramètre constant
inconnu et n ∈ Z >0 . Les fonctions g 0 , g 1 sont connues, analytiques et s’annulent à l’origine.
Le paramètre θ est supposé appartenir à l’ensemble compact [θ, ¯θ] où θ,¯θ ∈ R sont connus,
θ < ¯θ et sign(θ) = sign(¯θ). La notation ˆθ est utilisée pour désigner l’estimation du paramètre
inconnu θ et ˜θ = θ − ˆθ l’erreur d’estimation.
Remarque 2.2.1 En pratique, il est souvent aisé de déterminer un intervalle de valeurs
possibles pour le paramètre inconnu, θ, en prenant en compte sa signification physique et
l’environnement dans lequel le système évolue. Le fait que nous supposons que les bornes du
compact soient de même signe n’induit pas de restriction supplémentaire. En effet, si ce n’est
pas le cas au départ, un changement de paramètre par translation est suffisant pour satisfaire
cette hypothèse. Ainsi, pour θ ∈ [θ,¯θ] avec θ < ¯θ et θ¯θ < 0, en introduisant θ 1 = θ − ¯θ − 1, le
système (2.1) devient :
ẋ(t) = g 0 (x(t))(θ 1 + ¯θ + 1) + g 1 (x(t))u(t), (2.2)
avec θ 1 inconnu qui appartient au compact de bornes de même signe [θ− ¯θ−1,−1]. Le système
(2.2) n’est pas exactement de la forme (2.1), néanmoins les résultats de ce chapitre peuvent
être appliqués après d’évidentes modifications.
On suppose, au cours de ce chapitre, que toutes les composantes du vecteur d’état sont
mesurées et donc disponible pour le contrôleur. L’instant initial considéré est t = 0, sans
perte de généralité. La méthode proposée se concentre sur les systèmes mono-entrée, toutefois
elle peut être étendue au cas multi-entrées au prix de calculs additionnels. De même,
lorsqu’un vecteur de paramètres est inconnu, une extension est possible sous des hypothèses
supplémentaires, voir [146].
Nous supposons que le problème de commande en temps continu est résolu, en ce sens,
que l’on sait déterminer une loi de commande adaptative assurant la convergence asymptotique
de l’état x vers l’origine et la stabilité de l’estimé. L’hypothèse proposée repose sur la
connaissance de fonctions de Lyapunov.