THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires 33
Proposition 2.3.1 Soit r ∈ Z ≥0 , le long des trajectoires de (2.8), considérant un contrôleur
de la forme (2.5), pour T ∈ R >0 suffisamment petit,
∆V (x)
r∑
= L g1 V (x)u 0 + P 0 (θ,x) + T s (L g1 V (x)u s + P s (θ,x,U s−1 ))
T
s=1
+R T,θ,r (x,U r ), (2.9)
où U s = (u 0 , . . . ,u s ), pour s ∈ {0, . . . ,r}, R T,θ,r (x,U r ) = O(T r+1 ),
pour s ≥ 1,
P 0 (θ,x) = L g0 V (x)θ, (2.10)
P s (θ,x,U s−1 ) =
s∑ ∑k+1
p iks (x,U s−1 )θ i , (2.11)
k=1 i=0
pour tout i ∈ {0, . . . ,r + 1}, (k,s) ∈ {1, . . . ,r} 2 ,
∑ L gi0 . . . L gik V (x)
p iks (x,U s−1 ) =
⎜
(k + 1)! ⎝
(i 0 ,...,i k )∈J ik
⎛
∑
|N|=Ĩk
¯N=s−k
(
k + 1 − i
n 0 n 1 . . . n r
) r∏
j=0
où J ik = {(i 0 , . . . ,i k ) ∈ {0,1} k+1 : Ĩ k = k + 1 − i} (on rappelle que Ĩk = i 0 + . . . + i k ).
u n j
j
⎞
⎟
⎠ (2.12)
Preuve. D’après le Théorème 3.1.5 dans [85] et du fait que le signal de commande est constant
entre deux instants d’échantillonnage, on peut montrer que :
∆V (x)
T
=
∞∑
m=1
∑
k=0i 0 =0,...,i k =0
T k
L˜gi0 . . . L˜gik V (x)
(k + 1)! (ur sd )Ĩk , (2.13)
où ˜g 0 = θg 0 et ˜g 1 = g 1 . En écrivant (2.13) comme un polynôme en θ et puisque u r sd =
le développement (2.9) est obtenu après quelques calculs.
r ∑
s=0
T s u s ,
□
Remarque 2.3.1 Le terme R T,θ,r (x,U r ) dépend de l’entrée et par conséquent de la variable
d’estimation. Puisque celle-ci est bornée, R T,θ,r (x,U r ) peut être qualifié de O(T r+1 ) (voir Remarque
2.2.4).
La Proposition 2.3.1 est une extension du Théorème 3.1 dans [147] pour la classe de
systèmes incertains (2.8). Le calcul des termes d’ordre élevé de la série (2.9) devient générale–
ment rapidement complexe et peut nécessiter l’utilisation d’un logiciel de calcul symbolique.
Les deux premiers termes du développement (2.9) sont :
∆V (x)
T
= L g0 V (x)θ + L g1 V (x)u 0 + T (L g1 V (x)u 1 + p 011 (x,u 0 ) + p 111 (x,u 0 )θ
+p 211 (x)θ 2 ) + O(T 2 ), (2.14)