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Annexe C. Preuve de la Proposition 4.3.1 173
Annexe C
Preuve de la Proposition 4.3.1
La preuve est fortement inspirée de celle du Lemme 11 dans [165]. On peut montrer,
d’après (4.37), que pour tout µ ∈ R >0 , i ∈ Z ≥0 et e ∈ R ne , avec ˜α 3 = 2 µ α 3 :
2
[
]
W (i + 1,h(i,e)) − W (i,e)
µ
≤ −˜α 3 (W (i,e)). (C.1)
Considérons a ∈ K ∩ C 1 (R ≥0 ,R ≥0 ) telle que, pour tout τ ∈ R ≥0 :
a(τ) ≤ min { τ,˜α 3 (τ) } et a ′ (τ) < 1. (C.2)
Un exemple de fonction a est donné par l’équation (140) dans [165] : a(τ) = 2 π
qui satisfait bien les conditions requises. En effet, on peut prouver que a ∈ K ∩ C 1 (R ≥0 ,R ≥0 )
et a(τ) ≤ min { τ,˜α 3 (τ) } , de plus a ′ (τ) = 2 π
Soit
{ ( ∫ )
τ
exp
2
1 a(s)
ρ(τ) =
ds pour τ > 0
0 pour τ = 0.
min{τ,˜α 3 (τ)}
1+τ 2 ≤ 2 π
∫ τ
0
min{s,˜α 3 (s)}
1+s 2 ds
τ
1+τ 2 ≤ 1 π < 1, pour τ ∈ R ≥0.
(C.3)
Cette fonction est continue et croissante sur R ≥0 . De plus, puisque s ↦→ ∫ τ 2
1 a(s)
ds diverge
en −∞ quand τ tend vers 0 et vers +∞ quand τ tend vers +∞, ρ ∈ K ∞ . Montrons que
ρ ∈ C 1 (R ≥0 ,R ≥0 ). Puisque ρ ∈ C 1 (R >0 ,R ≥0 ), il suffit de prouver que :
Au voisinage de 0,
ρ(τ) = exp
ρ ′ (0) = 0 et lim
τ→0 +ρ′ (τ) = 0.
(C.4)
(
− ∫ ) (
1 2
τ a(s) ds ≤ exp − ∫ )
1 2
τ s ds = exp(ln τ 2 ) = τ 2 . (C.5)
Par conséquent, ρ ′ (0) existe et est égal à 0. D’autre part, pour τ ∈ R >0 :
ρ ′ (τ) = 2
a(τ) ρ(τ) et ρ′′ (τ) = 2 (2 − a ′ (τ)) ρ(τ)
a 2 (τ) .
(C.6)
Puisque a ′ (τ) < 2, ρ ′′ est strictement positive sur R >0 et ρ ′ est donc strictement croissante
sur cet espace. Ainsi, sachant que ρ ′ est également positive,
lim (τ) existe et est positive
τ→0 +ρ′