THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 211
γ u (s) = ˜σ u (s), c y = max {˜σ m (m), ˜σ x (∆) } , σ t = 0, σ x = max { β 1 (s,0),2β 2 (s,0),2α 2 (s) } , σ y
est donnée dans (D.120), σ u dans (D.121), c x = 0, c = max { c y ,m } , ˜γ u dans (D.122), (D.25)
est vérifiée d’après (D.115), (D.26) d’après (D.93) et (D.94), (D.27) d’après (D.80), (D.82),
(D.83) et(D.99), (D.28) d’après (D.84), (D.29) d’après (D.85) et (D.88), (D.31) avec ¯∆ = ∆
puisque max{ν x (∆),ν u (∆)} < M. Ainsi, puisque (D.88) est garantie, d’après la Proposition
D.1.3, pour η > 1, il existe β ∈ KL telle que, pour tout t ∈ [t 0 ,∞) :
max { |ω 1 (x 1 (t))|,|ω2(x a 2 (t))| } {
≤ max β(max { |ω 1 (x 1 (t 0 ))|,|ω 2 (x 2 (t 0 ))| } ,t − t 0 ),
˜γ u (max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u }
2‖ [t0 ,t) ),η˜σ m (m),
}
η˜σ x (∆),ηm . (D.123)
Puisque δ m (s) = max { η˜σ m (s),ηs } et δ x (s) = η˜σ x (s) pour s ∈ R ≥0 , le résult désiré est obtenu.
□
D.3 Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
Les théorèmes de la section précédente sont étendus à la famille paramétrée de systèmes
suivante :
{
ẋ 1 = f τ,1 (t,x 1 ,x 2 ,u 1 ) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ]
x 1 (t + i ) = g τ,1(t i ,x 1 (t i ),x 2 (t i ),u 1 (t i ))
(D.124)
{
ẋ 2 = f τ,2 (t,x 2 ,x 1 ,u 2 ) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ]
x 2 (t + i ) = g τ,2(t i ,x 2 (t i ),x 1 (t i ),u 2 (t i )),
(D.125)
qui correspondent aux systèmes (D.46)-(D.47) paramétrés en τ ∈ R >0 , aussi bien au niveau
des dynamiques que des instants de sauts, puisque pour tout i ∈ Z >0 , on rappelle que :
υ ≤ t i − t i−1 ≤ τ. (D.126)
Lorsque la classe de systèmes n’est pas affectée par des sauts, on peut remplacer υ par 0.
Théorème D.3.1 On suppose qu’il existe β 1 ,β 2 ∈ KL, α 1 ,α 2 ,γ ω 1
2 ,γu 2 , ηt 1 ,ηt 2 ,ηω 1
2 ,ηωa 2
2 ,ηu 2 ∈ K,
γ ωa 2
1 ,γu 1 ,ηω 1
1 ,ηωa 2
1 ,ηωb 2
1 ,ηu 1 ∈ KK, ¯τ ∈ [υ,∞], tels que pour tout x 1(t 0 ) ∈ R nx 1 , (u 1 ,x 2 ) ∈ L nu 1 +nx 2
∞ ,
τ ∈ [υ,¯τ), t ≥ t 0 ≥ 0, les solutions de (D.124) vérifient :
|ω 1 (x 1 (t))| ≤ max { β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,t − t 0 ),γ ωa 2
1 (τ, ‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t) ),
γ u 1 (τ, ‖u 1 ‖ [t0 ,t) )}
(D.127)
|x 1 (t)| ≤ max { α 1 (|x 1 (t 0 )|),η t 1 (t − t 0),η ω 1
1 (τ, ‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),ηωa 2
1 (τ, ‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t) ),
η ωb 2
1 (τ,‖ωb 2(x 2 )‖ [t0 ,t)),η u 1 (τ, ‖u 1 ‖ [t0 ,t) )} , (D.128)