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128 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS Corollaire 6.4.3 Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.2 et que (6.50) soient vérifiées pour le protocole TOD, si alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et (6.37) est garanti. τ max j∈{1,...,l} {K j } < 1 (6.65) Preuve. La preuve suit le même cheminement que celle du Théorème 6.4.2 mais en appliquant le théorème du petit gain non pas à |e| mais max j∈{1,...,l} |e j|. □ Remarque 6.4.6 D’après la Remarque 6.4.5, lorsque (6.50) est satisfait et que le système à observer est effectivement composé de l sous-systèmes indépendants, l’implémentation décrite dans §4.3.2 peut être allégée en plaçant uniquement l’observateur correspondant au soussystème à chaque nœud. 6.5 Applications Comme au Chapitre 5, nous montrons que les observateurs linéaires et à grand gain satisfont les hypothèses considérées et des bornes explicites sur le MATI sont données lorsque la fonction de blocage Pred est couplée aux protocoles RR, TOD ainsi qu’au cas échantillonné. 6.5.1 Observateurs linéaires Soit le système linéaire : ẋ = Ax (6.66) y = Cx, (6.67) ⎡ ⎤ C 1 ⎢ ⎥ où x ∈ R nx , y ∈ R ny , A et C = ⎣ C 2 ⎦ sont des matrices réelles de dimensions appropriées C 3 telles que (A,C) est détectable. L’observateur de Luenberger suivant est étudié : ˙¯x = A¯x + Λ(y − ȳ) (6.68) ȳ = C ¯x. (6.69) Nous avons vu au Chapitre 5 que le problème peut s’écrire sous la forme : ˙ ξ = (A − ΛC)ξ − Λe ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.70) ż = Az + Λ(e + Cξ) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.71) ė = −CAξ ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.72) ξ(t + i ) = ξ(t i) (6.73) z(t + i ) = z(t i) (6.74) e(t + i ) = h(i,e(t i)), (6.75)
Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS 129 où z = ¯x, h est défini par (4.29), (4.38) ou (4.49) et où la séquence d’instants de transmission {t i } i∈Z>0 est telle que υ ≤ t i −t i−1 ≤ τ pour tout i ∈ Z >0 , υ ∈ R >0 , τ ∈ [υ,∞) et t 0 = 0. L’Hypothèse 6.4.1 est satisfaite puisque le système est linéaire. Le Lemme 5.3.1 permet d’affirmer que l’Hypothèse 6.4.2 est vérifiée. La seule condition à étudier est celle de l’Hypothèse 6.4.3. De la même manière qu’au Lemme 5.3.1, sachant que |L fP h j P (¯x) − L f P h j P (x)| = |C jAξ|, on peut montrer qu’il existe ¯σ j ∈ KL et K j ∈ R >0 , j ∈ {1,2,3}, tels que, pour tout (ξ 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n z et e ∈ L ne ∞ : |C j Aξ(t)| ≤ ¯σ j (|x 0 | + |z 0 |,t) + K j ‖e‖ [0,t) . (6.76) Deux expressions possibles des K j se déduisent de la preuve du Lemme 5.3.1 : |C j A|γ e 1 ou à l’aide d’une borne de ∫ t 0 |C jA exp ((t − s)(A − ΛC)) Λ| ds. On notera K le gain correspondant pour l’inégalité (6.20) qui s’obtient en remplaçant C j par C. §6.3. La proposition ci-dessous est une application du Corollaire 6.4.1, du Théorème 6.4.2 et de Proposition 6.5.1 Considérons le système (6.70)-(6.75), pour (i) le protocole RR, si τ ∈ [υ,¯τ RR ) où (ii) le protocole TOD, si τ ∈ [υ,¯τ T OD ) où (iii) le cas échantillonné, si τ ∈ [υ,¯τ SD ) où alors le système est RFC et (6.37) est satisfait. ¯τ RR = 1 3(K 1 +K 2 +K 3 ) ; (6.77) ¯τ T OD = 1 3 3 2 max j∈{1,...,3} {K j} ; (6.78) ¯τ SD = 1 K ; (6.79) Nous retrouvons donc la même propriété de stabilité qu’au Chapitre 5 lorsque le bloqueur Pred est implémenté, mais sous des conditions sur le MATI différentes. 6.5.2 Observateurs à grand gain A l’instar du Chapitre 5, les observateurs à grand gain pour des systèmes multisorties de [51] sont étudiés. Des résultats similaires sont vérifiées pour d’autres observateurs globalement Lipschitziens, comme nous le verrons sur un exemple dans §6.6.2. Soit le système : ẋ = Ax + φ(x) (6.80) y = Cx, (6.81)
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Continuous-discreteadaptive observe
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