THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 217
vérifient :
|ω 1 (x 1 (t))| ≤ max { β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,t − t 0 ),γ ωa 2
1 (τ,‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t)),
γ ωb 2
1 (τ,‖ωb 2(x 2 )‖ [t0 ,t)),γ u 1 (τ, ‖u 1 ‖ [t0 ,t) )} (D.159)
|x 1 (t)| ≤ max { α 1 (|x 1 (t 0 )|),η ω 1
1 (τ, ‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),ηωa 2
1 (τ,‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t)),
η ωb 2
1 (τ,‖ωb 2(x 2 )‖ [t0 ,t)),η u 1 (τ, ‖u 1 ‖ [t0 ,t) )} , (D.160)
pour tout x 2 (t 0 ) ∈ R nx 2 , (x 1 ,u 2 ) ∈ L nx 1 +nu 2
∞ , τ ∈ [υ,¯τ), et t ≥ t 0 ≥ 0, les solutions de (D.125)
vérifient :
|ω a 2 (x 2(t))| ≤ max { β 2 (|ω 2 (x 2 (t 0 ))|,t − t 0 ),γ ω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )} (D.161)
|ω b 2(x 2 (t))| ≤ max { α 2 (|ω b 2(x 2 (t 0 ))|),η ω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),ηωa 2
2 (‖ωa 2(x 2 )‖ [t0 ,t)),
η u 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )} ,
(D.162)
et, pour tout ∆,ε ∈ R >0 , soit M ∈ R >0 (suffisamment grand) et m ∈ R >0 (suffisamment
petit) tels que
{
δ m (¯τ,m) < ε
max { m,˜σ m (¯τ,m),ν x (¯τ,∆),ν u (¯τ,∆) } < M,
où, pour (τ,s) ∈ [υ,¯τ) × R ≥0 :
δ m (τ,s) = max { η˜σ m (τ,s),ηs }
{
ν x (τ,s) = max β 1 (ρ 1 (s),0),γ ωa 2
1 (τ,β 2(ρ 2 (s),0)),γ ωb 2
1 (τ,α 2(ρ 2 (s))),
ν u (τ,s) = max
γ ωb 2
1 (τ,ηωa 2
2 (β 2(ρ 2 (s),0))),β 2 (ρ 2 (s),0),γ ω 1
2 (β 1(ρ 1 (s),0)),
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (τ,α 2(ρ 2 (s)))),ρ 1 (s),ρ 2 (s), ˜β(s,0),˜σ
}
x (τ,s)
{
γ ωa 2
1 (τ,γu 2 (s)),γ1 u (τ,s),γ ωb 2
1 (τ,ηωa 2
2 (γu 2 (s))),γ ωb 2
1 (τ,ηu 2 (s)),
γ ω 1
2 (γu 1 (τ,s)),γu 2 (s),γω 1
2 (γωb 2
1 (τ,ηu 2 (s))),˜γu (τ,s)
}
,
(D.163)
avec η > 1, ˜σ m ∈ KK, ˜β ∈ KL, ˜σ x ∈ KK et ˜γ u ∈ KK se déduisent respectivement de (D.118),
(D.116), (D.119) et (D.122). Il existe τ ∗ (ε,∆) ∈ [υ,¯τ) (défini par (D.168)), que l’on note τ ∗ ,
tel que
{
max γ ωa 2
1 (τ ∗ ,γ ω 1
2 (s)),γωb 2
1 (τ ∗ ,η ωa 2
2 (γω 1
2 (s))),γωb 2
1 (τ ∗ ,η ω 1
2 (s)),γω 1
2 (γωa 2
1 (τ ∗ ,s)),
}
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (τ ∗ ,η ωa 2
2 (s))),γω 1
2 (γωb 2
1 (τ ∗ ,η ω 1
2 (s))) < s pour s ∈ [m,M],
alors, il existe µ ∈ R >0 tel que pour tout τ ∈ [υ,τ ∗ ), (x 1 (t 0 ),x 2 (t 0 )) ∈ R nx 1 +nx 2
L nu 1 +nu 2
∞
vérifient :
(D.164)
et (u 1 ,u 2 ) ∈
avec max { |x 1 (t 0 )|,|x 2 (t 0 )|, ‖u 1 ‖ ∞ , ‖u 2 ‖ ∞
}
< ∆, les solutions de (D.124)-(D.125)
|(x 1 (t),x 2 (t))| ≤ µ ∀t ≥ t 0 ≥ 0. (D.165)
De plus, il existe β ∈ KL, σ ∈ K, ¯σ ∈ KK tels que pour tout τ ∈ [υ,τ ∗ ), (x 1 (t 0 ),x 2 (t 0 )) ∈
R nx 1 +nx 2 et (u 1 ,u 2 ) ∈ L nu 1 +nu 2
∞
avec max { |x 1 (t 0 )|,|x 2 (t 0 )|, ‖u 1 ‖ ∞
, ‖u 2 ‖ ∞
}
< ∆, les solutions