THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

40 Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires
2.4.2 Méthode de redesign
D’après le Théorème 2.4.1, la condition (2.25) est suffisante pour assurer la bornitude
semiglobale des variables du système (2.8) lorsque l’on applique un contrôleur du type (2.5)
couplé à la loi d’estimation (2.19). Une telle loi de commande peut être obtenue par récurrence
en considérant les termes de droite de (2.25) comme un polynôme en T . En effet, résoudre
(2.25) revient à résoudre le système d’inégalités suivant :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
L g1 V (x)u 0 + ¯p 0 (x)S 10 (ˆγ) ≤ −cV (x),
∑
L g1 V (x)u 1 + 2 ¯p i11 (x,u 0 )S i1 (ˆγ) + ¯p 011 (x,u 0 ) ≤ −Λ 1 (x,ˆγ),
.
i=1
∑
L g1 V (x)u r + r ∑
¯p 0kr (x,U r−1 ) + r
k=1
k+1 ∑
k=1i=1
¯p ikr (x,U r−1 )S ir (ˆγ) ≤ −Λ r (x,U r−1 ,ˆγ).
(2.50)
De par la structure triangulaire de (2.50), les u s ’s, s ∈ {0, . . . ,r} peuvent être déterminés
étape après étape. Notons que, d’après l’Hypothèse 2.2.1, la première inégalité de (2.50) est
toujours satisfaite (en identifiant ˆθ à |θ|S 10 (ˆγ)). Ensuite, u 1 est obtenu en résolvant la seconde
inégalité, puisque les autres termes ne dépendent que de variables connues x, ˆγ, u 0 . En répétant
cette procédure pour chaque u s , s ∈ {1, . . . ,r}, un contrôleur d’ordre r peut être construit.
Cette approche repose grandement sur le choix de la fonction V satisfaisant l’Hypothèse 2.2.1,
ainsi, lorsque l’on se trouve dans l’impossibilité de résoudre ces inégalités, une fonction de
Lyapunov différente peut être une alternative.
Le point clef repose sur la façon de déterminer les u s ’s de telle sorte que (2.50) soit
satisfaite. Ceci doit être examiné au cas par cas. Lorsque des propriétés de factorisation sont
vérifiées, la proposition suivante présente une technique possible de synthèse de contrôleurs.
Proposition 2.4.1 Soit r ∈ Z ≥0 , supposons que pour tout i ∈ {0, . . . ,r + 1}, k,s ∈ {1, . . . ,r},
les ¯p iks ’s puissent être factorisés comme suit :
¯p iks (x,ˆγ) = L g1 V (x)˜p iks (x,ˆγ) (2.51)
pour (x,ˆγ) ∈ R n × R. Alors, le système en boucle fermée constitué de (2.8), (2.19) et :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∑
u s = −κ s sign(L g1 V (x))| s ˜p 0ks (x,U s−1 ) + Λ s (x,U s−1 ,ˆγ)| −
u 0 = u c (x,|θ|S 10 (ˆγ)),
k=1
avec κ s ∈ R + , s ∈ {1, . . . ,r}, vérifie les propriétés (2.29) et (2.30).
s ∑
k+1 ∑
k=1i=1
˜p iks (x,U s−1 )S is (ˆγ),
(2.52)
Preuve. Ce résultat est une conséquence directe du Théorème 2.4.1 puisque la condition
(2.51) permet au contrôleur (2.52) de satisfaire l’Hypothèse 2.4.1 . □