THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné 53
Le théorème principal de cette section est énoncé.
Théorème 3.4.1 Supposons que l’Hypothèse 3.4.1 soit vérifiée, définissons, avec c ∈ R >0 ,
u T (x) = − (c + 1 − cT ) (ξ − ¯ξ T (η)) + ¯ξ T (η 0 + ) − ¯ξ ( )
T (η) ∂W T
−
T
∂η (¯η+ 0 ) g(η)
−(1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))| ∂ ¯ξ T
∂η (η+ 0 )|2 , (3.19)
où ¯η 0 + = η+T [f(η)+g(η)¯ξ T ], η 0 +
par (3.19) est SP-SEE.
= η+T [f(η)+g(η)ξ], alors le système (3.14)-(3.15) contrôlé
Preuve. Soient ∆, ∆ d , δ ∈ R >0 , x = (η, ξ) ∈ R n+1 , d = (d 1 , d 2 ) ∈ L n+1
∞ tels que |x| ≤ ∆
et ‖d‖ ∞ ≤ ∆ d . D’après l’Hypothèse 3.4.1, il existe ˆT ∈ R >0 tel que (3.8) est satisfait pour
T ∈ (0, ˆT ) avec δ 1 = δ 2 , γ = γ 1 ∈ K, considérant le système (3.16) avec ξ = ¯ξ T comme
entrée. Soit ∆ 1 = sup |x|≤∆,‖d‖∞ ≤∆ d , T ∈(0, ˆT ) max{|η+ |,|η 0 + |,|¯η+ 0 |,|¯η+ |} (où ¯η + = η + T [f(η) +
g(η)¯ξ T ] + ˜d 1 ), qui est bien défini puisque les fonctions f, g, ¯ξ T sont continues et d 1 ∈ L n ∞.
Soit ¯∆ = max{∆,∆ 1 } qui génère ( ˜T , ˜M 1 ) tel que la condition (3) de l’Hypothèse 3.4.1 est
vérifiée. Soit ˜M = sup |x|≤∆,‖d‖∞ ≤∆ d , T ∈(0, ˆT ) max{|ξ − ¯ξ T |,|f(η) + g(η)ξ|, ˜M 1 ,|g(η)|,∆ d }, qui est
également bien défini grâce à la continuité des fonctions considérées sur ce compact. La période
d’échantillonnage ¯T est définie par ¯T = min{ ˆT , ˜T , δ 2 ˆM −1 , 1 c } où ˆM = ˜M 2 (( ˜M 2 + 2 ˜M + 2) 2
+c ˜M + 2 ˜M 2 ). Prenons T ∈ (0, ¯T ) et définissons :
V T (η,ξ) = W T (η) + 1 2 (ξ − ¯ξ T (η)) 2 . (3.20)
La condition (3.7) est bien vérifiée, cf. [153]. Il est maintenant montré que l’inégalité (3.8) est
satisfaite. Ainsi,
∆V T = W T (η + ) − W T (η) + 1 2 (ξ + T u T + ˜d 2 − ¯ξ T (η + )) 2 − 1 2 (ξ − ¯ξ T (η)) 2 . (3.21)
On peut prouver, à l’aide du théorème de la valeur moyenne, qu’avec η ♦ = ¯η + + T θ 1 g(η)(ξ −
¯ξ T (η)) et θ 1 ∈ (0,1),
W T (η + ) − W T (η) = W T (¯η + ) − W T (η) + W T (η + ) − W T (¯η + )
( ) ∂W T
= W T (¯η + ) − W T (η) +
∂η (η♦ ) T g(η)(ξ − ¯ξ T (η)). (3.22)