THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

60 Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné
D’après la Proposition 1 de [153], il existe ᾱ 3 ∈ K ∞ , telle que :
∆V T ≤ −T ᾱ 3 (|x|) + T δ. (3.50)
En utilisant le théorème de la valeur moyenne, on peut montrer qu’il existe ¯L ∈ R >0 , tel que
pour tout x,z ∈ R n+1 avec max{|x|,|z|} ≤ ∆, |V T (x) − V T (z)| ≤ ¯L|x − z|. Finalement,
|u T | ≤ c|ξ − ¯ξ T (η)| + | ˆd 2 | + | ¯ξ T (η 0 + ) − ¯ξ T (η)
|
T
( ) ∂W T ( ) T ∂
+|
∂η (¯η+ 0 ) ¯ξT
||g(η)| + |
∂η (η+ 0 ) || ˆd 1 |
≤ 3 ˜M 2 + ˜M(c + 1) = ¯M. (3.51)
La commande u T est donc localement uniformément bornée. Ainsi, la paire (u T ,V T ) est SP-A
stabilisante pour le système (3.34)-(3.35) d’après la Définition 3.2.2, par conséquent le système
discrétisé exact de (3.14)-(3.15) contrôlé par (3.38) est SP-AS d’après le Théorème 3.2.1, en
notant que (3.34)-(3.35) est une approximation fortement consistante.
□
A l’instar de §3.4, les contrôleurs (3.38) sont reconstruits comparés à l’émulation. Néan–
moins, la période d’échantillonnage n’apparaît pas uniquement linéairement dans l’expression
de la commande puisqu’elle intervient également non linéairement dans la définition des fonctions
sat.
Remarque 3.5.3 Le contrôleurs virtuel ¯ξ T ne peut être composé de fonctions sat paramétrés
en T (comme dans la Définition 3.5.1) car leurs dérivées ne sont pas uniformément bornées
par rapport à T . Prenons l’exemple suivant où la fonction p T ε est, pour z = (z 1 , . . . ,z n ) ∈ R n
et ε ∈ R >0 :
p T ε : z i ↦→ − 1 ( zi
) 3 3 z i +
2 T ε 2 T ε . (3.52)
On peut vérifier que la fonction sat obtenue est bien localement uniformément bornée, puisque
pour tout T ∈ R >0 et z ∈ R n , |sat T ε,n (z)| ≤ 1 (bien que p T ε (z) → ∞ quand T tend vers 0,
de par la définition la fonction sat, celle-ci n’explose pas). On ne peut en dire autant de sa
dérivée, puisqu’en notant que :
∂p T ε (z i )
= − 3 zi
2
∂ i 2 (T ε) 3 + 3 1
2 T ε , (3.53)
on voit que max {|sat T ε,n (z)|} = 3
z∈R n , T ∈R
2
>0
1
T ε
qui converge vers l’infini lorsque T tend vers zéro.
Remarque 3.5.4 Si la perturbation d 1 ne s’annule pas en zéro, en supposant des conditions
légèrement différentes de celles de l’Hypothèse 3.5.2, un résultat de type δ-régulation pourrait
être obtenue, voir [55].