THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires 31
Hypothèse 2.2.1 Il existe une fonction définie positive V : R n → R ≥0 telle que, lorsqu’on
applique la loi de commande connue u(t) = u c (x(t),ˆθ(t)) et la boucle d’estimation ˙ˆθ(t) =
αL g0 V (x(t)), α ∈ R >0 , (t ∈ R ≥0 ), il existe β, ¯β ∈ K ∞ et une constante c ∈ R >0 qui satisfont,
lorsque l’on considère la fonction de Lyapunov W (x,˜θ) = V (x) + 1
2α ˜θ 2 , pour tout (x,˜θ) ∈
R n × R,
β(|(x,˜θ)|) ≤ W (x,˜θ) ≤ ¯β(|(x,˜θ)|), (2.3)
et le long des trajectoires de (2.1),
Ẇ (t) = L g1 V (x)u c (x,ˆθ) + L g0 V (x)ˆθ ≤ −cV (x). (2.4)
Lorsque l’Hypothèse 2.2.1 est vérifiée, la convergence globale asymptotique des états du
système vers l’origine est assurée. En effet, puisque le plus grand ensemble invariant inclus
dans {(x,˜θ) ∈ R n+1 : ˙V = 0} est {(x,˜θ) ∈ R n+1 : x = 0 et θ = d où d ∈ R}, d’après
le principe d’invariance de LaSalle (Théorème B.1.2), le vecteur (x,˜θ) converge globalement
asymptotiquement vers ce dernier ensemble.
Il existe de nombreuses méthodes de commande adaptative directe pouvant permettre de
satisfaire l’Hypothèse 2.2.1 pour des classes de système de la forme (2.1), comme les méthodes
par backstepping [104] ou plus généralement celles faisant appel aux fonctions de Lyapunov
de commande [105, 172].
Remarque 2.2.2 Contrairement aux résultats de [147], l’hypothèse sur le système bouclé en
temps continu repose sur une fonction de Lyapunov faible de par l’extension du vecteur d’état
à l’estimé du paramètre inconnu. C’est là une difficulté majeure de cette étude.
Nous nous concentrons désormais sur le cas où la commande u et par conséquent la
variable d’estimation ˆθ sont implémentées numériquement à l’aide d’un échantillonneur de
période T ∈ (0,1) et d’un bloqueur d’ordre zéro. La configuration correspond à celle dépeinte
Figure 1.1.
Remarque 2.2.3 Le fait de prendre T < 1 n’apporte aucune contrainte : il suffit de changer
l’échelle de temps si nécessaire.
Le terme u r sd
est utilisé pour désigner le signal de commande constant par morceaux
d’ordre r, r ∈ Z ≥0 , appliqué au système (2.1), u r sd (t) = ur sd
(kT ), pour t ∈ [kT,(k + 1)T ),
k ∈ Z ≥0 , qui s’écrit sous la forme :
r∑
u r sd = u 0 + T s u s . (2.5)
s=1
Le système (2.1) devient alors, pour t ∈ [kT,(k + 1)T ), k ∈ Z ≥0 :
ẋ(t) = g 0 (x(t))θ + g 1 (x(t))u r sd (kT ). (2.6)