THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 7. Convergence semiglobale pratique d’observateurs émulés pour les NCS 149
Parallèlement au Chapitre 5, l’Hypothèse 7.2.4 peut être difficile à vérifier. Supposons que
le système (4.14) soit UEBEB avec w comme entrée, i.e. il existe α 0 ,σ 0 ∈ K, tels que pour
tout x 0 ∈ R nx
et w ∈ L nw
∞ ,
|x(t)| ≤ max{α 0 (|x 0 |),σ 0 (‖w‖ [t0 ,t) )} t ≥ t 0 ≥ 0, (7.24)
et supposons qu’il existe β 3 ∈ KL, γ3 x,γe 3 ,γw 3
tout z 0 ∈ R nz , (x,e,w) ∈ L nx+ne+nw
∞ :
∈ K tels que, le long des solutions de (7.2), pour
|z(t)| ≤ max{β 3 (|z 0 |,t − t 0 ),γ x 3 (‖x‖ [t 0 ,t) ),γe 3 (‖e‖ [t 0 ,t) ),γw 3 (‖w‖ [t 0 ,t) )} ∀t ≥ t 0 ≥ 0.
(7.25)
Remarque 7.2.5 La condition (7.25) est satisfaite dans de nombreux cas, cf. §7.3, elle peut
être vérifiée à l’aide de l’Hypothèse 7.2.3 et du fait que ξ = x − h O (t,z).
Ainsi, en combinant (7.24) et (7.25), pour tout (x 0 ,z 0 ) ∈ R nx+nz , (e,w) ∈ L ne+nw
∞ , le long des
solutions de (4.16), on a, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0 :
|z(t)| ≤ max{β 3 (|z 0 |,t − t 0 ),γ x 3 ◦ α 0(|x 0 |),γ x 3 ◦ σ 0(‖w‖ [t0 ,t) ),γe 3 (‖e‖ [t 0 ,t) ),γw 3 (‖w‖ [t 0 ,t) )}.
(7.26)
En écrivant ξ = x−h O (t,z), puis en utilisant la Proposition A.1.2 (avec µ = 1), nous obtenons,
pour (ξ 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n z
:
α 0 (|x 0 |) = α 0 (|ξ 0 + h O (t,z 0 )|)
≤ max{α 0 (2|ξ 0 |),α 0 (2|h O (t,z 0 )|)}. (7.27)
De plus, supposons qu’il existe ς ∈ K tel que |h O (t,z)| ≤ ς(|z|) pour tout (t,z) ∈ R 1+nz , on a :
α 0 (2|h O (t,z 0 )|) ≤ α 0 (2ς(|z 0 |)) = ˜α 0 (|z 0 |). (7.28)
De cette manière, définissons, pour s ∈ R ≥0 , α 2 (s) = max{β 3 (s,0),γ x 3 ◦ α 0(2s),γ x 3 ◦ ˜α 0(s)},
η w 2 (s) = max{γw 3 (s),γx 3 ◦ σ 0(s)} et η e 2 (s) = γe 3 (s), pour tout (x 0,z 0 ) ∈ R nx+nz , (e,w) ∈ L ne+nw
∞ ,
le long des solutions de (7.2), pour tout t ≥ t 0 ≥ 0 :
|z(t)| ≤ max{α 2 (|(ξ 0 ,z 0 )|,0),η e 2 (‖e‖ [t 0 ,t) ),ηw 2 (‖w‖ [t 0 ,t) )}
≤ max{α 2 (|(ξ 0 ,z 0 )|,0),η W 2 (‖W ‖ [t 0 ,t) ),ηw 2 (‖w‖ [t 0 ,t) )}, (7.29)
où η2
W = η2 e ◦ α−1 1 . La condition (7.29) ne nous permet pas de conclure quant à la stabilité
UEBEB de (7.2) avec comme entrée ξ,e,w, toutefois, elle est suffisante pour déduire des propriétés
de convergence pour l’erreur d’observation comme nous le montrons dans le corollaire
ci-dessous dont la preuve rejoint celle du Théorème 7.2.1.
Corollaire 7.2.1 Supposons que les Hypothèses 7.2.1-7.2.3 et (7.29) soient vérifiées, pour
tout ∆,ε ∈ R >0 il existe τ ∗ (ε,∆) ∈ [υ,τ 0 ) tel que :
1. pour tout τ ∈ [υ,τ ∗ (ε,∆)), (ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n e+n z
et w ∈ L nw
∞ avec max { |ξ 0 |,|e 0 |,
|z 0 |, ‖w‖ ∞
}
< ∆, il existe µ ∈ R≥0 tel que, le long des solutions de (7.1)-(7.6), pour
tout t ∈ [t 0 ,∞) :
|(ξ(t),z(t),e(t))| ≤ µ; (7.30)