THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné 47
Chapitre 3
Backstepping robuste échantillonné
3.1 Introduction
Après nous être intéressés à la commande échantillonnée de systèmes aux paramètres
incertains, nous considérons, dans ce chapitre, le cas des incertitudes de modèle et/ou des
perturbations exogènes pour une nouvelle classe de systèmes, toujours à l’aide de fonctions
de Lyapunov. La technique de commande considérée est de type backstepping. Il s’agit d’une
méthode constructive non linéaire adaptée aux systèmes ayant une structure de type triangulaire
inférieure (cf. [101], Chapitre 6 dans [172] et les références qui y sont citées). Nous en
rappelons le principe pour les systèmes sous forme strict-feedback suivants d’ordre n, n ∈ Z >0 :
⎧
ẋ 1 = f 1 (x 1 ,x 2 )
⎪⎨
ẋ 2 = x 3 + f 2 (x 1 ,x 2 )
ẋ 3 = x 4 + f 3 (x 1 ,x 2 ,x 3 )
(3.1)
.
⎪⎩
ẋ n = u + f n (x 1 , . . . ,x n ).
La synthèse du contrôleur s’effectue en n étapes. A la première, uniquement le sous-système
ẋ 1 = f 1 (x 1 ,x 2 ) est considéré. Supposant que x 2 soit un signal de commande, un contrôleur
virtuel x 2 = α 1 (x 1 ) est déterminé afin de garantir la stabilité globale asymptotique de l’origine,
à l’aide d’une fonction de Lyapunov V 1 (x 1 ). Puisqu’en réalité x 2 n’est pas une commande,
l’erreur z 2 = x 2 −α 1 (x 1 ) est introduite afin d’analyser l’évolution entre sa valeur réelle et celle
désirée. A la seconde étape, le sous-système, dont l’état est (x 1 ,z 2 ) et la commande x 3 est
étudié. En suivant la même procédure qu’à l’étape précédente, une loi de commande virtuelle
α 2 (x 1 ,z 2 ) est attribuée à x 3 à l’aide de la fonction de Lyapunov V 2 (x 1 ,z 2 ) = V 1 (x 1 ) + 1 2 z2 2 .
L’erreur z 3 = x 3 −α 2 (x 1 ,z 2 ) est ensuite introduite. Après n étapes, une loi de commande, u, et
une fonction de Lyapunov, V (x) = V 1 (x 1 ) + 1 ∑
2
zi 2 , sont obtenues et la stabilité globale
i∈{2,...,n}
asymptotique de l’origine du système bouclé de coordonnées (x 1 ,z 2 , . . . ,z n ) est garantie. Une
brève analyse du changement de variables de (x 1 ,z 2 , . . . ,z n ) à (x 1 ,x 2 , . . . ,x n ) permet de déduire