THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS 109
Les conditions du Corollaire 5.2.1 et du Théorème 5.2.2 sont maintenant vérifiées. Le
lemme suivant prouve que l’Hypothèse 5.2.5 est assurée (de manière équivalente l’Hypothèse
5.2.1) pour le système (5.86), sous certaines conditions sur θ.
Lemme 5.3.2 Il existe θ 0 ,λ 1 ∈ [1,∞) tel que, pour tout θ > θ 0 , ξ 0 ∈ R n ξ, e ∈ L ne
∞, le long
des solutions de (5.86),
(
)
|ξ(t)| ≤ λ 1 exp − θ−θ 0
2
(t − t 0 ) |ξ 0 | + γ 1 (θ) ‖e‖ [t0 ,t) ∀t ≥ t 0 ≥ 0, (5.92)
avec γ 1 (θ) =
2θ p
λ min (S)(θ−θ 0 ) .
Preuve. Soit θ ∈ R >0 , définissons ¯ξ = ∆ θ ξ, d’après (5.86) et le fait que A = θ∆ −1
θ A∆ θ,
C T C = C T C∆ θ , on peut montrer que :
˙¯ξ = θ ( A − S −1 C T C ) ¯ξ + ∆θ (φ(ξ + z) − φ(z)) − θS −1 C T e. (5.93)
Considérons V (¯ξ) = ¯ξ T S ¯ξ, le long des solutions de (5.93), et d’après (5.85),
˙V = θ ( 2¯ξ T SA¯ξ − 2¯ξC T C ¯ξ ) + 2¯ξ T S∆ θ (φ(ξ + z) − φ(z)) − 2θ ¯ξ T C T e
= −θV − ¯ξ T C T C ¯ξ + 2¯ξ T S∆ θ (φ(ξ + z) − φ(z)) − 2θ ¯ξ T C T e.
Sachant que θ ≥ 1, que φ est globalement Lipschitzienne et possède une structure triangulaire :
où c =
‖∆ θ (φ(ξ + z) − φ(z))‖ ≤ c|¯ξ|, (5.94)
max {k φ i
} √ p, par conséquent, d’après (5.94),
i∈{1,...,p}
{ }
Soit θ > θ 0 avec θ 0 = max 1,2c λmax(S)
λ min (S)
˙V ≤ −θV + 2c|¯ξ| 2 λ max (S) + 2θ|¯ξ||e|
≤ −θV + 2c λmax(S)
λ min (S) V + √ 2
θ|e|√ V .
λmin (S)
et W = √ V , grâce à (5.95) on obtient :
Ẇ ≤ − θ−θ 0
θ
2
W + √ |e|,
λmin (S)
en invoquant le principe de comparaison (Lemme 3.4 dans [98]), on a, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0 :
√ (
) √V
V (t) ≤ exp − θ−θ 0
2θ
2
(t − t 0 ) (t0 ) + √ ‖e‖ λmin (S)(θ−θ 0 ) [t 0 ,t) .
Ainsi,
|¯ξ(t)|
≤
√
λmax(S)
λ min (S) exp (
)
2θ
2
(t − t 0 ) |¯ξ(t 0 )| +
λ min (S)(θ−θ 0 ) ‖e‖ [t 0 ,t) .
− θ−θ 0
En remarquant que |¯ξ(t)| ≤ |ξ(t)| ≤ θ p−1 |¯ξ(t)|,
√ (
)
|ξ(t)| ≤ θ p−1 λmax(S)
λ min (S) exp − θ−θ 0
2
(t − t 0 )
|ξ(t 0 )| +
2θ p
λ min (S)(θ−θ 0 ) ‖e‖ [t 0 ,t) .