THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

180 Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
D’autre part, si ε − ¯ηc > δ −1 (r), alors δ −1 (r) ≤ β(r,t − t 0 ) et, d’après (D.18),
|y(t)| ≤ max { β(r,t − t 0 ),µ(‖u‖ [t0 ,t) ),c} . (D.24)
En combinant (D.23), (D.24), et en invoquant la Proposition A.1.2 :
|y(t)| ≤ max { (1 + ν −1 )β(r,t − t 0 ),µ(‖u‖ [t0 ,t)),(1 + ν)¯ηc}
= max { ¯β(|x(t0 )|,t − t 0 ),µ(‖u‖ [t0 ,t) ),ηc} ,
où ¯β = (1 + ν −1 )β ∈ KL.
□
La proposition ci-dessous est une version locale du Théorème 1 dans [184]. C’est ce résultat
qui nous permettra de clore les preuves de la section suivante.
Proposition D.1.3 Supposons qu’il existe β ∈ KL, γ y ,γ u ,σ t ,σ x ,σ y , σ u ∈ K, c x ,c y ,m,M,∆ ∈
R >0 tels que, pour tout x(t 0 ) ∈ R nx et u ∈ L ∞ n u
avec max { }
|x(t 0 )|, ‖u‖ ∞ < ∆, les solutions
de (D.1)-(D.3) vérifient, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0 :
|y(t)| ≤ max { β(|x(t 0 )|,t − t 0 ),γ y (‖y‖ [t0 ,t) ),γu (‖u‖ [t0 ,t) ),c }
y
(D.25)
|y(t)| ≤ M (D.26)
|x(t)| ≤ max { σ t (t − t 0 ),σ x (|x(t 0 )|),σ y (‖y‖ [t0 ,t) ),σu (‖u‖ [t0 ,t) ),c x}
, (D.27)
et
γ y (s) < s ∀s ∈ [m,M], (D.28)
avec
c = max { }
m,c y < M, (D.29)
soient
˜γ u (s) = max { β (σ y ◦ γ u (s),0) ,β (σ u (s),0) ,γ u (s) } ∀s ∈ R ≥0 (D.30)
¯∆ ∈ (0,∆] avec max { β( ¯∆,0),˜γ u ( ¯∆) } < M, (D.31)
alors, pour tout η ∈ (1,∞), il existe ˜β ∈ KL tel que pour tout x(t 0 ) ∈ R nx
max { |x(t 0 )|, ‖u‖ ∞
}
< ¯∆ :
et u ∈ L nu
∞
avec
|y(t)| ≤ max { ˜β(|x(t0 )|,t − t 0 ),˜γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),ηc} ∀t ≥ t 0 ≥ 0. (D.32)
Preuve. La preuve suit les mêmes étapes que celle du Théorème 1 dans [184]. La propriété de
stabilité (D.32) est prouvée en invoquant la Proposition D.1.2. Nous allons donc démontrer
que le système (D.1)-(D.3) est (˜γ u ,c, ¯∆)-uniformément pratiquement stable entrée-sortie.
Etape 1. Stabilité (˜γ u ,c, ¯∆)-uniforme pratique.
Soient ϑ(s) = β −1 (s,0) et δ(s) = min { ϑ −1 (s),s } pour s ∈ R ≥0 (avec la convention
consistante ϑ −1 (s) = ∞ si s ≥
sup β(ς,0)), nous savons que δ ∈ K ∞ . Soient t 0 ∈ R,
ς∈[0,∞)