THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Notations 7
Notations
Ensembles
On note R = (−∞,∞), R ≥0 = [0,∞), R >0 = (0,∞), Z ≥0 = {0,1,2, . . .}, Z >0 = {1,2, . . .}.
Classes et ensembles de fonctions
Soit C(R p ,R q ), p, q ∈ Z >0 , l’ensemble des applications continues de R p dans R q et C i (R p ,
R q ), i ∈ Z >0 , l’ensemble des applications continues dont les dérivées partielles d’ordre i sont
définies et continues. L’ensemble des fonctions pour lesquelles ces dérivées sont continues pour
tout i ∈ Z >0 est noté C ∞ (R p ,R q ).
Soit a ∈ R >0 ∪ {∞}, la fonction γ : [0,a) → R ≥0 est dite de classe K si elle est continue,
égale à zéro en zéro et strictement croissante, on dit qu’elle est de classe K ∞ si de plus a = ∞
et γ(s) → ∞ quand s → ∞. Par extension, pour a,b ∈ R >0 ∪ {∞}, γ : [0,a) × [0,b) → R ≥0
est de classe KK si, pour tout (s 1 ,s 2 ) ∈ [0,a) × [0,b), γ(s 1 ,·) et γ(·,s 2 ) sont de classe K. Une
fonction continue γ : [0,a) × R ≥0 −→ R ≥0 est de classe KL si, pour tout t ∈ R ≥0 , γ(·,t) est de
classe K, et, pour tout s ∈ [0,a), γ(s,·) est décroissante et tends vers zéro à l’infini. De plus,
γ est dite de classe exp −KL s’il existe λ 1 ,λ 2 ∈ R >0 tels que γ(s,t) = λ 1 exp(−λ 2 t)s, pour
(s,t) ∈ [0,a) × R ≥0 .
On définit la fonction signe de la façon suivante :
sign : R → R
⎧
⎪⎨ 1 si x > 0
x ↦→ −1 si x < 0
⎪⎩
0 si x = 0.
(1)
La notation I représente l’application identité sur les espaces considérés.
Normes
Le norme Euclidienne d’un vecteur ou d’une matrice est notée | · |. Pour une fonction
f : R → R n , n ∈ Z >0 , Lebesgue mesurable, on définit pour t 1 ≤ t 2 ∈ R, ‖f‖ [t1 ,t 2 )
=