THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 215
D’autre part, d’après (D.129), pour tout t ∈ [t 0 ,t max ) :
{
|ω2(x a 2 (t))| ≤ max β 2 (|ω2(x a 2 ( t 2 ))|, t }
2 ),γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [
t
2 ,t)),γu 2 (‖u 2 ‖ [
t
,t)) , (D.149)
2
par conséquent, d’après (D.127), (D.147), (D.148) et (D.149) :
{
|ω 1 (x 1 (t))| ≤ max β 1 (|ω 1 (x 1 ( t 2 ))|, t }
2 ),γωa 2
1 (τ, ‖ωa 2 (x 2)‖ [
t
2 ,t)),γu 1 (τ, ‖u 1‖ [
t
,t)) 2
{
≤ max β 1 (β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0), t 2 ),β 1(γ ωa 2
1 (τ,β 2(|ω2 a (x 2(t 0 ))|,0)), t 2 ),
β 1 (γ ωa 2
1 (τ,γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )), t 2 ),β 1(γ u 1 (τ, ‖u 1‖ [t0 ,t) ), t 2 ),
β 1 (m, t 2 ),γωa 2
1 (τ,β 2(β 2 (|ω a 2 (x 2(t 0 ))|,0), t 2 )),
γ ωa 2
1 (τ,β 2(γ ω 1
2 (β 1(|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0)), t 2 )),
un résultat analogue est vérifié par ω a 2 (x 2), ainsi,
γ ωa 2
1 (τ,β 2(γ ω 1
2 (γu 1 (τ, ‖u 1‖ [t0 ,t) )), t 2 )),γωa 2
1 (τ,β 2(γ u 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) ), t 2 )),
γ ωa 2
1 (τ,β 2(m, t 2 )),γωa 2
1 (τ,γω 1
2 (‖ω 2
1(x 1 )‖ [
t
2 ,t))),γωa 1 (τ,γu 2 (‖u 2‖ [
t
,t))), 2
}
γ1 u (τ, ‖u 1‖ [
t
,t)) 2
max { |ω 1 (x 1 (t))|,|ω a 2 (x 2(t))| } ≤ max
{
˜β(max
{
|ω1 (x 1 (t 0 ))|,|ω a 2 (x 2(t 0 ))| } ,t − t 0 ),
σ u (τ, max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u 2‖ [t0 ,t)
}
),˜σ m (τ,m),
où
γ ωa 2
1 (τ,γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [0,t)
)),
γ ω 1
2 (γωa 2
1 (τ, ‖ω 1(x 1 )‖ [0,t)
))
}
, (D.150)
{
˜β(s,t) = max β 1 (β 1 (s,0), t 2 ),β 1(γ ωa 2
1 (τ ∗ ,β 2 (s,0)), t 2 ),γωa 2
1 (τ ∗ ,β 2 (β 2 (s,0), t 2 )),
γ ωa 2
1 (τ ∗ ,β 2 (γ ω 1
2 (β 1(s,0)), t 2 ))
β 2 (β 2 (s,0), t 2 ),β 2(γ ω 1
2 (β 1(s,0)), t 2 ),γω 1
2 (β 1(β 1 (s,0), t 2 )),
γ ω 1
2 (β 1(γ ωa 2
1 (τ ∗ ,β 2 (s,0)), t 2 )) }, (D.151)
σ u (τ,s) = max{¯σ u (τ,s),˜σ u (s)}, (D.152)
{
¯σ u (τ,s) = max β 1 (γ ωa 2
1 (τ,γu 2 (s)),0),β 1 (γ1 u (τ,s),0),γ ωa 2
1 (τ,β 2(γ ω 1
2 (γu 1 (τ,s)),0)),
γ ωa 2
1 (τ,β 2(γ u 2 (s),0)),γ ωa 2
1 (τ,γu 2 (s)),γ u 1 (τ,s),
β 2 (γ ω 1
2 (γu 1 (τ,s)),0),γω 1
2 (β 1(γ ωa 2
1 (τ,γu 2
}
(s)),0)),
γ ω 1
2 (β 1(γ1 u (τ,s),0)),γ ω 1
2 (γu 1 (τ,s)) ,
}
˜σ u (s) = max
{β 2 (γ2 u (s),0),γu 2 (s) , (D.153)