THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe B. Rappels de stabilité 169
Annexe B
Rappels de stabilité
B.1 Stabilité des systèmes à temps variant
Soit le système dont les dynamiques sont représentées par l’équation différentielle ordinaire
suivante :
ẋ = f(t,x), (B.1)
où x ∈ R n , f : R ≥0 × R n → R n telle que f(t,0) = 0 pour tout t ∈ R ≥0 , n ∈ Z >0 .
Définition B.1.1 (UGAS) On dit que l’origine est uniformément globalement asymptotiquement
stable (UGAS) pour le système (B.1) s’il existe β ∈ KL telle que, pour tout x 0 ∈ R n ,
les solutions de (B.1) vérifient :
|x(t)| ≤ β(|x 0 |,t − t 0 ) ∀t ≥ t 0 ≥ 0. (B.2)
Si le système (B.1) est autonome, on dit que 0 est GAS (l’uniformité est superflue).
Il est généralement difficile de prouver la stabilité de l’origine de (B.1) à partir de la
Définition B.1.1. Les fonctions de Lyapunov offre un moyen pratique d’y arriver. Le théorème
suivant se déduit du Théorème 4.9 et du Lemme 4.3 dans [98].
Théorème B.1.1 L’origine est UGAS pour (B.1) s’il existe une fonction V ∈ C 1 (R ≥0 ×
R n ,R), α 1 , α 2 ∈ K ∞ et α 3 ∈ K tels que,
(i) pour tout (t,x) ∈ R ≥0 × R n , α 1 (|x|) ≤ V (t,x) ≤ α 2 (|x|) ;
(ii) le long des solutions de (B.1), ˙V (t,x) =
∂V
∂t + ∂V
∂x f(t,x) ≤ −α 3(|x|).
On dit dans ce cas que V est une fonction de Lyapunov (forte) pour le système (B.1).
Remarque B.1.1 La condition (i) est équivalente au fait que V est définie positive et radialement
non bornée et l’inégalité de (ii) revient à dire que ˙V est définie négative (cf. Lemme
4.3 dans [98]).