THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

188 Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
où
{
˜β(s,t) = max β 1 (β 1 (s,0), t 2 ),β 1(γ ωa 2
1 (β 2(s,0)), t 2 ),γωa 2
1 (β 2(β 2 (s,0), t 2 )),
γ ωa 2
1 (β 2(γ ω 1
2 (β 1(s,0)), t 2 ))
β 2 (β 2 (s,0), t 2 ),β 2(γ ω 1
2 (β 1(s,0)), t 2 ),γω 1
2 (β 1(β 1 (s,0), t 2 )),
γ ω 1
2 (β 1(γ ωa 2
1 (β 2(s,0)), t 2 )) }, (D.74)
{
˜σ u (s) = max β 1 (γ ωa 2
1 (γu 2 (s)),0),β 1(γ1 u (s),0),γωa 2
1 (β 2(γ ω 1
2 (γu 1 (s)),0)),
γ ωa 2
1 (β 2(γ u 2 (s),0)),γωa 2
1 (γu 2 (s)),γu 1 (s)
β 2 (γ ω 1
2 (γu 1 (s)),0),β 2 (γ u 2 (s),0),γ ω 1
2 (β 1(γ ωa 2
1 (γu 2 (s)),0)),
γ ω 1
2 (β 1(γ u 1 (s),0)),γω 1
2 (γu 1 (s)),γu 2 (s) }, (D.75)
˜σ m (s) = max { β 1 (s,0),γ ωa 2
1 (β 2(s,0)),β 2 (s,0),γ ω 1
2 (β 1(s,0)) } . (D.76)
Soient, pour s ∈ R ≥0 ,
σ y (s) = max { γ ωa 2
1 ◦ γ ω 1
2 (s),γω 1
2 ◦ γ ωa 2
1 (s)} (D.77)
˜γ u (s) = max { ˜β(σ y ◦ ˜σ u (s),0), ˜β(˜σ u (s),0),˜σ u (s) } . (D.78)
On constate que les conditions de la Proposition D.1.3 sont satisfaites. En effet, on identifie x =
y = max { |ω 1 (x 1 )|,|ω a 2 (x 2)| } , pour (s,t) ∈ R 2 ≥0 , β(s,t) = ˜β(s,t), γ y (s) = max { γ ωa 2
1 ◦γω 1
2 (s),γω 1
2 ◦
γ ωa 2
1 (s)} , γ u (s) = ˜σ u (s), c y = ˜σ m (m), σ t (s) = 0, σ x (s) = ˜β(s,0), σ y est défini dans (D.77),
σ u (s) = ˜σ u (s), c x = ˜σ m (m), c = max {˜σ m (m),m } , ˜γ u est donné dans (D.78). L’inégalité
(D.25) est satisfaite d’après (D.73), (D.26) d’après (D.67) et (D.68), (D.27) d’après (D.73),
(D.28) d’après (D.56), (D.29) d’après (D.57), (D.31) avec ¯∆ = ∆ puisque max{ν x (∆),ν u (∆)}
< M. Par conséquent, puisque (D.59) est vérifiée, en invoquant la Proposition D.1.3, pour
η > 1, il existe β ∈ KL telle que, pour tout t ∈ [t 0 ,∞) :
max { |ω 1 (x 1 (t))|,|ω2 a (x 2(t))| } {
≤ max β(max { |ω 1 (x 1 (t 0 ))|,|ω2 a (x 2(t 0 ))| } ,t − t 0 ),
˜γ u (max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u }
2‖ [t0 ,t) ),
}
η˜σ m (m),ηm . (D.79)
La preuve se conclut en notant δ(s) = max { η˜σ m (s),ηs } pour s ∈ R ≥0 .
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Remarque D.2.2 La condition (D.57) signifie que les bornes du compact sur lequel la condition
du petit gain (D.56) est satisfaite ne peuvent être trop proches. On remarque les auteurs
de [191] ont oublié de le préciser dans le Lemme 2.