THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 7. Convergence semiglobale pratique d’observateurs émulés pour les NCS 157
où, pour (s,t) ∈ R 2 ≥0 :
√
(
)
λ max (P )
β 3 (s,t) =
λ min (P ) s exp ν
−
4λ max (P ) t
√
γ3 e (s) = 4 λ max (P )
[
]
|P G|θ γ (|K|s) + |P Λ|s + |P |θ φ (s)
ν λ min (P )
√
γ3 x (s) = 4 λ max (P )
[
]
|P G|θ γ (|KC|s) + |P ΛC|s + |P |θ φ (|C|s) ,
ν λ min (P )
ce qui nous permet d’appliquer le Corollaire 7.2.1 lorsque (7.40) est UGS, d’où la proposition
suivante.
Proposition 7.3.1 Supposons que le système (7.40) soit UGS, pour tout ∆,ε ∈ R >0 , lorsque
des bloqueurs ZOH sont implémentés, pour chaque protocole (RR, TOD, TOD modifié, échantil–
lonné) il existe un MATI approprié τ 1 (ε,∆) ∈ [υ,∞) tel que :
(i) pour tout τ ∗ ∈ [υ,τ 1 (ε,∆)), max { |ξ 0 |,|e 0 |,|z 0 | } < ∆, il existe µ ∈ R ≥0 tel que, le long
des solutions de (7.48)-(7.53) :
|(ξ(t),z(t),e(t))| ≤ µ ∀t ≥ t 0 ≥ 0; (7.65)
(ii) il existe β ∈ KL, δ ∈ KK, tels que pour tout τ ∈ [υ,τ ∗ (ε,∆)), (ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n e+n z
avec
max { |ξ 0 |,|e 0 |,|z 0 | } < ∆, les solutions de (7.48)-(7.53) satisfont, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0,
|(ξ(t),e(t))| ≤ max { β(|(ξ 0 ,e 0 )|,t − t 0 ),δ(τ ∗ ,∆),ε } ∀t ≥ t 0 ≥ 0. (7.66)
La proposition suivante est une conséquence du Théorème 7.2.2.
Proposition 7.3.2 Considérons le système (7.48)-(7.53) avec des bloqueurs Pred, pour tout
∆,ε ∈ R >0 , pour chaque protocole (RR, TOD, TOD modifié, échantillonné) il existe un MATI
approprié τ 2 (ε,∆) ∈ [υ,∞) tel que :
(i) pour tout τ ∗ ∈ [υ,τ 2 (ε,∆)), le système (7.48)-(7.53) est (uniformément) positivement
complet pour tout max { |ξ 0 |,|e 0 | } < ∆ ;
(ii) il existe β ∈ KL tel que pour tout τ ∈ [υ,τ ∗ (ε,∆)), (ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n e+n z
max { |ξ 0 |,|e 0 | } < ∆, les solutions de (7.48)-(7.53) satisfont, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0,
avec
|(ξ(t),e(t))| ≤ max { β(|(ξ 0 ,e 0 )|,t − t 0 ),ε } ∀t ≥ t 0 ≥ 0. (7.67)
Remarque 7.3.2 Les bornes sur le MATI des Propositions 7.3.1 et 7.3.2 sont données
respectivement dans les preuves des Théorèmes 7.2.1 et 7.2.2 en remplaçant les fonctions
considérées par celles données dans cette sous-section.