THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe A. Rappels mathématiques 165
Annexe A
Rappels mathématiques
Quelques résultats d’algèbre et d’analyse utilisés dans cette thèse sont rappelés.
A.1 Formules algébriques
Proposition A.1.1 Pour tout a,b ∈ R et ε ∈ R >0 ,
2ab ≤ 1 ε a2 + εb 2 . (A.1)
Preuve. Soient a,b ∈ R et ε ∈ R >0 ,
( √ 1 a − √ εb) 2 = 1 ε ε a2 + εb 2 − 2ab, (A.2)
la preuve se conclut en notant que ( 1 √ ε
a − √ εb) 2 ≥ 0.
□
Proposition A.1.2 Pour tout a,b ∈ R ≥0 et µ ∈ R >0 ,
a + b ≤ max{(1 + µ)a,(1 + µ −1 )b}
max{a,b} ≤ a + b.
(A.3)
Preuve. Soient a,b ∈ R ≥0 et µ ∈ R >0 , supposons, sans perte de généralité, que (1 + µ −1 )b ≤
(1 + µ)a ce qui est équivalent à b ≤ µa, alors
a + b ≤ a + µa = max{(1 + µ)a,(1 + µ −1 )b}. (A.4)
D’autre part, si max{a,b} = a, on a bien max{a,b} ≤ a + b (le même résultat est obtenu avec
max{a,b} = b).
□
Le résultat suivant correspond au Lemme 4.2 dans [98].
Lemme A.1.1 Soient α 1 , α 2 ∈ K sur [0,a), α 3 , α 4 ∈ K ∞ et β ∈ KL. On a :
– α −1
1 est définie sur [0,α 1 (a)) et est de classe de K ;